这道证明题没有思路,请问这个应该怎样做呀?

设函数f(x)g(x)[a,b]上可积,则

\displaystyle \left[\displaystyle \int_{a}^{b}f(x)g(x)dx\right]^2 \leqslant \int_{a}^{b}f^2(x)dx\cdot \int_{a}^{b}g^2(x)dx

最佳答案

\displaystyle \left[\int_a^bf(x)g(x)dx\right]^2=\int_a^bf(x)g(x)dx\cdot\int_a^bf(y)g(y)dy\\{}\\ =\iint\limits_{a\leqslant x\leqslant b;a\leqslant y\leqslant b}[f(x)g(x)\cdot f(y)g(y)]dxdy\\{}\\ \because[f(x)g(y)]\cdot[f(y)g(x)]\leqslant\frac{1}{2}[f^2(x)g^2{y}+f^2(y)g^2(x)]\\{}\\ \therefore \left[\int_a^bf(x)g(x)dx\right]^2\leqslant \iint\limits_{a\leqslant x\leqslant b;a\leqslant y\leqslant b}\frac{1}{2}[f^2(x)g^2{y}+f^2(y)g^2(x)]dxdy\\{}\\ =\frac{1}{2}\iint\limits_{a\leqslant x\leqslant b;a\leqslant y\leqslant b}f^2(x)g^2(y)+\frac{1}{2}\iint\limits_{a\leqslant x\leqslant b;a\leqslant y\leqslant b}f^2(y)g^2(x)dxdy\\{}\\ =\iint\limits_{a\leqslant x\leqslant b;a\leqslant y\leqslant b}f^2(x)g^2(y)dxdy\\{}\\ =\int_a^bf^2(x)dx\int_a^bg^2(y)dy\\{}\\ =\int_a^bf^2(x)dx\int_a^bg^2(x)dx

3周前 评论
Mars_step (楼主) 3周前
讨论数量: 1

\displaystyle \left[\int_a^bf(x)g(x)dx\right]^2=\int_a^bf(x)g(x)dx\cdot\int_a^bf(y)g(y)dy\\{}\\ =\iint\limits_{a\leqslant x\leqslant b;a\leqslant y\leqslant b}[f(x)g(x)\cdot f(y)g(y)]dxdy\\{}\\ \because[f(x)g(y)]\cdot[f(y)g(x)]\leqslant\frac{1}{2}[f^2(x)g^2{y}+f^2(y)g^2(x)]\\{}\\ \therefore \left[\int_a^bf(x)g(x)dx\right]^2\leqslant \iint\limits_{a\leqslant x\leqslant b;a\leqslant y\leqslant b}\frac{1}{2}[f^2(x)g^2{y}+f^2(y)g^2(x)]dxdy\\{}\\ =\frac{1}{2}\iint\limits_{a\leqslant x\leqslant b;a\leqslant y\leqslant b}f^2(x)g^2(y)+\frac{1}{2}\iint\limits_{a\leqslant x\leqslant b;a\leqslant y\leqslant b}f^2(y)g^2(x)dxdy\\{}\\ =\iint\limits_{a\leqslant x\leqslant b;a\leqslant y\leqslant b}f^2(x)g^2(y)dxdy\\{}\\ =\int_a^bf^2(x)dx\int_a^bg^2(y)dy\\{}\\ =\int_a^bf^2(x)dx\int_a^bg^2(x)dx

3周前 评论
Mars_step (楼主) 3周前

请勿发布不友善或者负能量的内容。与人为善,比聪明更重要!