数据结构与算法整理总结---堆

如何理解“堆”?

堆是⼀种特殊的树。我们现在就来看看,什么样的树才是堆。罗列了两点要求,只要满⾜这两点,它就是⼀个堆。

  • 堆是⼀个完全⼆叉树;

  • 堆中每⼀个节点的值都必须⼤于等于(或⼩于等于)其⼦树中每个节点的值。

对于每个节点的值都⼤于等于⼦树中每个节点值的堆,我们叫作“⼤顶堆”。对于每个节点的值都⼩于等于⼦树中每个节点值的堆,我们叫作“⼩顶堆”。

定义解释清楚了,你来看看,下⾯这⼏个⼆叉树是不是堆?

数据结构与算法整理总结---堆

其中第$1$个和第$2$个是⼤顶堆,第$3$个是⼩顶堆,第$4$个不是堆。除此之外,从图中还可以看出来,对于同⼀组数据,我们可以构建多种不同形态的堆。

如何实现⼀个堆?

要实现⼀个堆,我们先要知道,堆都⽀持哪些操作以及如何存储⼀个堆。

完全⼆叉树⽐较适合⽤数组来存储。⽤数组来存储完全⼆叉树是⾮常节省存储空间的。因为我们不需要存储左右⼦节点的指针,单纯地通过数组的下标,就可以找到⼀个节点的左右⼦节点和⽗节点。

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从图中我们可以看到,数组中下标为$i$的节点的左⼦节点,就是下标为$i2$的节点,右⼦节点就是下标为$i2+1$的节点,⽗节点就是下标为$\frac{i}{2}$的节点。

1.往堆中插⼊⼀个元素

往堆中插⼊⼀个元素后,我们需要继续满⾜堆的两个特性。

如果我们把新插⼊的元素放到堆的最后,你可以看我画的这个图,是不是不符合堆的特性了?于是,我们就需要进⾏调整,让其重新满⾜堆的特性,这个过程我们起了⼀个名字,就叫作堆化(heapify)。

堆化实际上有两种,从下往上和从上往下。这⾥我先讲从下往上的堆化⽅法。

数据结构与算法整理总结---堆

堆化⾮常简单,就是顺着节点所在的路径,向上或者向下,对⽐,然后交换。

我们可以让新插⼊的节点与⽗节点对⽐⼤⼩。如果不满⾜⼦节点⼩于等于⽗节点的⼤⼩关系,我们就互换两个节点。⼀直重复这个过程,直到⽗⼦节点之间满⾜刚说的那种⼤⼩关系。

数据结构与算法整理总结---堆

2.删除堆顶元素

从堆的定义的第⼆条中,任何节点的值都⼤于等于(或⼩于等于)⼦树节点的值,我们可以发现,堆顶元素存储的就是堆中数据的最⼤值或者最⼩值。

假设我们构造的是⼤顶堆,堆顶元素就是最⼤的元素。当我们删除堆顶元素之后,就需要把第⼆⼤的元素放到堆顶,那第⼆⼤元素肯定会出现在左右⼦节点中。然后我们再迭代地删除第⼆⼤节点,以此类推,直到叶⼦节点被删除。

不过这种⽅法有点问题,就是最后堆化出来的堆并不满⾜完全⼆叉树的特性。

数据结构与算法整理总结---堆

实际上,稍微改变⼀下思路,就可以解决这个问题。你看我画的下⾯这幅图。我们把最后⼀个节点放到堆顶,然后利⽤同样的⽗⼦节点对⽐⽅法。对于不满⾜⽗⼦节点⼤⼩关系的,互换两个节点,并且重复进⾏这个过程,直到⽗⼦节点之间满⾜⼤⼩关系为⽌。这就是从上往下的堆化⽅法。

因为我们移除的是数组中的最后⼀个元素,⽽在堆化的过程中,都是交换操作,不会出现数组中的“空洞”,所以这种⽅法堆化之后的结果,肯定满⾜完全⼆叉树的特性。

数据结构与算法整理总结---堆

⼀个包含$n$个节点的完全⼆叉树,树的⾼度不会超过$\log_{2}n$。堆化的过程是顺着节点所在路径⽐较交换的,所以堆化的时间复杂度跟树的⾼度成正⽐,也就是$O(\log n)$。插⼊数据和删除堆顶元素的主要逻辑就是堆化,所以,往堆中插⼊⼀个元素和删除堆顶元素的时间复杂度都是$O(\log n)$。

如何基于堆实现排序?

借助于堆这种数据结构实现的排序算法,就叫作堆排序。这种排序⽅法的时间复杂度⾮常稳定,是$O(n\log n)$,并且它还是原地排序算法。

把堆排序的过程⼤致分解成两个⼤的步骤,建堆和排序。

1.建堆

⾸先将数组原地建成⼀个堆。所谓“原地”就是,不借助另⼀个数组,就在原数组上操作。建堆的过程,有两种思路。

第⼀种是借助前⾯讲的,在堆中插⼊⼀个元素的思路。尽管数组中包含$n$个数据,但是我们可以假设,起初堆中只包含⼀个数据,就是下标为$1$的数据。然后,我们调⽤前⾯讲的插⼊操作,将下标从$2$到$n$的数据依次插⼊到堆中。这样我们就将包含$n$个数据的数组,组织成了堆。

第⼆种实现思路,跟第⼀种截然相反。第⼀种建堆思路的处理过程是从前往后处理数组数据,并且每个数据插⼊堆中时,都是从下往上堆化。⽽第⼆种实现思路,是从后往前处理数组,并且每个数据都是从上往下堆化。

第⼆种实现思路的建堆分解步骤图,你可以看下。因为叶⼦节点往下堆化只能⾃⼰跟⾃⼰⽐较,所以我们直接从第⼀个⾮叶⼦节点开始,依次堆化就⾏了。

数据结构与算法整理总结---堆

数据结构与算法整理总结---堆

我们对下标从$\frac{n}{2}$ 开始到$1$的数据进⾏堆化,下标是$\frac{n}{2}+1$到$n$的节点是叶⼦节点,我们不需要堆化。实际上,对于完全⼆叉树来说,下标从$\frac{n}{2}+1$到$n$的节点都是叶⼦节点。

2.排序

建堆结束之后,数组中的数据已经是按照⼤顶堆的特性来组织的。数组中的第⼀个元素就是堆顶,也就是最⼤的元素。我们把它跟最后⼀个元素交换,那最⼤元素就放到了下标为$n$的位置。

这个过程有点类似上⾯讲的“删除堆顶元素”的操作,当堆顶元素移除之后,我们把下标为$n$的元素放到堆顶,然后再通过堆化的⽅法,将剩下的$n-1$个元素重新构建成堆。堆化完成之后,我们再取堆顶的元素,放到下标是$n-1$的位置,⼀直重复这个过程,直到最后堆中只剩下标为$1$的⼀个元素,排序⼯作就完成了。

数据结构与算法整理总结---堆

整个堆排序的过程,都只需要极个别临时存储空间,所以堆排序是原地排序算法。堆排序包括建堆和排序两个操作,建堆过程的时间复杂度是$O(n)$,排序过程的时间复杂度是$O(n\log n)$,所以,堆排序整体的时间复杂度是$O(n\log n)$。

堆排序不是稳定的排序算法,因为在排序的过程,存在将堆的最后⼀个节点跟堆顶节点互换的操作,所以就有可能改变值相同数据的原始相对顺序。

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