MCMC 方法图像重建理论

二维 MCMC 方法理论

MCMC 法重建图像的主要思路是利用马尔可夫链思想获得转移概率，再利用转移概率进行赋值重建，首先，将二维图形看作一个矩阵，将页岩岩心图像进行二值化，每个点只有0和1两种状态：

• 小于阈值部分代表岩石骨架
• 大于阈值部分代表岩石孔隙

\displaystyle g(x)=\left\{ \begin{aligned} 0,\ \ f(x,y)<阈值\\ 1,\ \ f(x,y)\geqslant阈值 \end{aligned} \right.

引入邻域的思想，认为模型中任何点的状态只取决于相邻少数点的状态。具体地说，就是对于一个特定的点s，用\Lambda_{-s}表示除s外的所有点。则存在一个s点的领域N_s，有

\displaystyle P(x_s|x(\Lambda_{-s}))\approx P(x_s|x(N_s))

对于2点邻域系统，定义影响的某点状态的邻域为该点左边1个点；对于5点邻域系统，定义影响的某点状态的邻域为该点上面的3个点和左边的1个点；对于6点邻域系统，定义影响的某点状态的邻域为该点上面的3个点和左边的2个点。

\displaystyle N_2(i,j)=\left[i,j+1 \right]\\{}\\ N_5(i,j)=\left[\begin{aligned}(i-1,j-1)(i-1,j)\\(i,j-1)(i-1,j+1)\end{aligned}\right]\\{}\\ N_6(i,j+1)=\left[\begin{aligned}(i-1,j-1)(i-1,j)(i-1,j+1)\\(i,j-1)(i,j)\end{aligned}\right]

获得条件概率后，就可以利用其为像素赋值，进行图像的重建。重建的步骤为：
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利用孔隙度确定(1,1)点的状态，然后利用2点邻域模版的条件概率，从左向右依次为(1,j)点赋值。
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利用孔隙度确定(1,1)点的状态，然后利用2点邻域模版的条件概率，从上往下依次为(i,1)点赋值。
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利用(1,1)、(1,2)和(2,1)点的状态，采用4点邻域模版的条件概率，对(2,2)赋值；同理，从上往下依次为点(i,j)赋值，其中i>2。
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采用6点邻域模版，从第2行开始从左向右依次为点(2,j)赋值，到第2行结尾时，采用同样方法对第3行(3,j)赋值，依此类推，直至对最后一行赋值，图像重建结束。
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对比重构图像与原图的孔隙度，如果达到要求就终止计算，输出最终结果；如果不符合孔隙度要求，则调整条件概率的加权因子，再次开始重构过程，直到符合要求为止。

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