二叉树基础

树(Tree)是n(n>=0)个结点的有限集。n=0时称为空树。在任意一颗非空树中:
1)有且仅有一个特定的称为根(Root)的结点;
2)当n>1时,其余结点可分为m(m>0)个互不相交的有限集T1、T2、……、Tn,其中每一个集合本身又是一棵树,并且称为根的子树。

此外,树的定义还需要强调以下两点:
1)n>0时根结点是唯一的,不可能存在多个根结点,数据结构中的树只能有一个根结点。
2)m>0时,子树的个数没有限制,但它们一定是互不相交的。

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结点的度

结点拥有的子树数目称为结点的

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结点关系

结点子树的根结点为该结点的孩子结点。相应该结点称为孩子结点的双亲结点

下图中,AB的双亲结点,BA的孩子结点。
同一个双亲结点的孩子结点之间互称**兄弟结点**。
结点B与结点C互为兄弟结点。

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结点层次

从根开始定义起,根为第一层,根的孩子为第二层,以此类推。

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二叉树

二叉树是n(n>=0)个结点的有限集合,该集合或者为空集(称为空二叉树),或者由一个根结点和两棵互不相交的、分别称为根结点的左子树和右子树组成。

二叉树特点

由二叉树定义以及图示分析得出二叉树有以下特点:
1)每个结点最多有两颗子树,所以二叉树中不存在度大于2的结点。
2)左子树和右子树是有顺序的,次序不能任意颠倒。
3)即使树中某结点只有一棵子树,也要区分它是左子树还是右子树。

二叉树性质

1)在二叉树的第i层上最多有2i-1个节点 。(i>=1)
2)二叉树中如果深度为k,那么最多有2k-1个节点。(k>=1)
3)n2=n+1,n0表示度数为0的节点数,n2表示度数为2的节点数。
4)在完全二叉树中,具有n个节点的完全二叉树的深度为[log2n]+1,其中[log2n]是向下取整。
5)若对含 n 个结点的完全二叉树从上到下且从左至右进行 1 至 n 的编号,则对完全二叉树中任意一个编号为 i 的结点有如下特性:

(1) 若 i=1,则该结点是二叉树的根,无双亲, 否则,编号为 [i/2] 的结点为其双亲结点;
(2) 若 2i>n,则该结点无左孩子, 否则,编号为 2i 的结点为其左孩子结点;
(3) 若 2i+1>n,则该结点无右孩子结点, 否则,编号为2i+1 的结点为其右孩子结点。

满二叉树

满二叉树:在一棵二叉树中。如果所有分支结点都存在左子树和右子树,并且所有叶子都在同一层上,这样的二叉树称为满二叉树。
满二叉树的特点有:
1)叶子只能出现在最下一层。出现在其它层就不可能达成平衡。
2)非叶子结点的度一定是2。
3)在同样深度的二叉树中,满二叉树的结点个数最多,叶子数最多。

完全二叉树

完全二叉树:对一颗具有n个结点的二叉树按层编号,如果编号为i(1<=i<=n)的结点与同样深度的满二叉树中编号为i的结点在二叉树中位置完全相同,则这棵二叉树称为完全二叉树。

存储

顺序存储

二叉树的顺序存储结构就是使用一维数组存储二叉树中的结点,并且结点的存储位置,就是数组的下标索引。

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二叉链表

既然顺序存储不能满足二叉树的存储需求,那么考虑采用链式存储。由二叉树定义可知,二叉树的每个结点最多有两个孩子。因此,可以将结点数据结构定义为一个数据和两个指针域。

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遍历

前序遍历

前序遍历通俗的说就是从二叉树的根结点出发,当第一次到达结点时就输出结点数据,按照先向左在向右的方向访问。

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前序遍历输出为:
ABDHIEJCFG

中序遍历

中序遍历就是从二叉树的根结点出发,当第二次到达结点时就输出结点数据,按照先向左在向右的方向访问。

中序遍历输出为:
HDIBJEAFCG

后序遍历

后序遍历就是从二叉树的根结点出发,当第三次到达结点时就输出结点数据,按照先向左在向右的方向访问。

从根结点出发,则第一次到达结点A,不输出A,继续向左访问,第一次访问结点B,不输出B;继续到达DH;
到达HH左子树为空,则返回到H,此时第二次访问H,不输出HH右子树为空,则返回至H,此时第三次到达H,故输出H;
由H返回至D,第二次到达D,不输出D;
继续访问至II左右子树均为空,故第三次访问I时,输出I;
返回至D,此时第三次到达D,故输出D;
按照同样规则继续访问,输出JEBFGCA

后序遍历输出为:
HIDJEBFGCA

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