一直对动态规划的题有种恐惧，每当做这类题的时候，总是感觉无从下手，思考一会就放弃了，然后去评论区贯彻我的拿来主义，到头来还是没真正搞懂。没办法，战胜恐惧的最好办法就是面对恐惧。目前只能用最浅显的理解去解答这类题目，包括之前的秋叶收藏集，又何尝不是呢？

1. 买卖股票的最佳时机 I

给定一个数组，它的第 i 个元素是一支给定股票第 i 天的价格。如果你最多只允许完成一笔交易（即买入和卖出一支股票一次），设计一个算法来计算你所能获取的最大利润。注意：你不能在买入股票前卖出股票。

思路

首先，最直观的理解：当遍历整个数组的时候，每到一个位置，就去判断一下当前股票如果卖出的话的利润，然后更新最大值。而为了保持利润的最大值，应该记录到当前i位置的最小值（不包括当前 i ），以此作为买入。
代码如下：

public int maxProfit(int[] prices) {
        if (prices.length <= 1) {
            return 0;
        }
        int min = prices[0]; //初始化为数组首元素
        int max = 0;
        for (int i = 1; i < prices.length; i++) {
            max = Math.max(max, prices[i] - min); //如果当前卖出
            min = Math.min(min, prices[i]);       //更新最小值
        }
        return max;
    }

2.买卖股票的最佳时机 II

难度简单

给定一个数组，它的第 i 个元素是一支给定股票第 i 天的价格。
设计一个算法来计算你所能获取的最大利润。你可以尽可能地完成更多的交易（多次买卖一支股票）。
注意：你不能同时参与多笔交易（你必须在再次购买前出售掉之前的股票）。

思路

采用动态规划，每当到一个 i 位置的时候无非就两种状态——持有股票和不持有股票，所以每一个状态都可以由上一状态决定
代码如下:

public int maxProfit(int[] prices) {
        if (prices.length <= 1) {
            return 0;
        }
        int len = prices.length;
        int[][] dp = new int[len][2]; //dp[i][0] 表示第i天不持有，dp[i][1]表示第i天持有
        dp[0][0] = 0;
        dp[0][1] = -prices[0];
        for (int i = 1; i < len; i++) {
            dp[i][0] = Math.max(dp[i - 1][0], dp[i - 1][1] + prices[i]);
            dp[i][1] = Math.max(dp[i - 1][1], dp[i - 1][0] - prices[i]);
        }
        return dp[len - 1][0];
    }

3.买卖股票的最佳时机 III

给定一个数组，它的第 i 个元素是一支给定的股票在第 i 天的价格。
设计一个算法来计算你所能获取的最大利润。你最多可以完成 两笔 交易。
注意: 你不能同时参与多笔交易（你必须在再次购买前出售掉之前的股票）。

思路

由于限制了交易次数，故不能向上一题一样无限次交易，此时需要记录交易次数这个状态。
代码如下：

 public int maxProfit(int[] prices) {
        if (prices.length <= 1) {
            return 0;
        }
        int k = 2;
        int[][][] dp = new int[prices.length][k + 1][2];
        for (int i = 0; i < prices.length; i++) {
            for (int j = k; j > 0; j--) {
                if (i == 0) {
                    //第i天，还有j次，手里没有股票，当i=0，手里没股票，最大利润为0
                    dp[0][j][0] = 0;
                    dp[0][j][1] = -prices[0];
                    continue;
                }
                //今天手里没股票，比较MAX（前一天可能没股票，前一天有股票但是今天卖出去了，卖出去就有利润，所以+ prices[i]）
                dp[i][j][0] = Math.max(dp[i - 1][j][0], dp[i - 1][j][1] + prices[i]);
                //今天手里有股票，比较MAX（前一天可能有股票，前一天没股票但是今天买了，买了就有成本，所以- prices[i]）
                dp[i][j][1] = Math.max(dp[i - 1][j][1], dp[i - 1][j - 1][0] - prices[i]);
            }
        }
        return dp[prices.length - 1][k][0];
    }

4. 买卖股票的最佳时机 IV

给定一个数组，它的第 i 个元素是一支给定的股票在第 i 天的价格。
设计一个算法来计算你所能获取的最大利润。你最多可以完成 k 笔交易。
注意: 你不能同时参与多笔交易（你必须在再次购买前出售掉之前的股票）。

思路

此题同上，只不过需要判断一下k的大小，进而转换为无限次交易或者交易指定次数

 public int maxProfit(int k, int[] prices) {
        if (prices.length <= 1) {
            return 0;
        }
        int n = prices.length;
        //当k非常大时转为无限次交易
        if(k>=n/2) {
            int dp0=0,dp1=-prices[0];
            for(int i=1;i<n;++i) {
                int tmp = dp0;
                dp0 = Math.max(dp0,dp1+prices[i]);
                dp1 = Math.max(dp1,dp0-prices[i]);
            }
            return Math.max(dp0,dp1);
        }
        int[][][] dp = new int[prices.length][k + 1][2];
        for (int i = 0; i < prices.length; i++) {
            for (int j = k; j > 0; j--) {
                if (i == 0) {
                    //第i天，还有j次，手里没有股票，当i=0，手里没股票，最大利润为0
                    dp[0][j][0] = 0;
                    dp[0][j][1] = -prices[0];
                    continue;
                }
                //今天手里没股票，比较MAX（前一天可能没股票，前一天有股票但是今天卖出去了，卖出去就有利润，所以+ prices[i]）
                dp[i][j][0] = Math.max(dp[i - 1][j][0], dp[i - 1][j][1] + prices[i]);
                //今天手里有股票，比较MAX（前一天可能有股票，前一天没股票但是今天买了，买了就有成本，所以- prices[i]）
                dp[i][j][1] = Math.max(dp[i - 1][j][1], dp[i - 1][j - 1][0] - prices[i]);
            }
        }
        return dp[prices.length - 1][k][0];
    }

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