1/x 的导数

最基本求导函数除了$x^n$ 还有$\frac{1}{x}$。

1/x 的求导#

由于$\frac{1}{x}=x^{-1}$，所以对$\frac{1}{x}$ 的求导可以看成对$x^{-1}$ 的求导，不过我们先直接用$\frac{1}{x}$ 带入差商公式暴力推导下吧：

$\displaystyle f(x)=\frac{1}{x}\\{}\\ f^\prime(x)=\lim\limits_{\Delta x\to0}\frac{\frac{1}{x+\Delta x}-\frac{1}{x}}{\Delta x}\\{}\\ =\lim\limits_{\Delta x\to0}\frac{x-x-\Delta x}{x^2+x\Delta x}\bigg/\Delta x\\{}\\ =\lim\limits_{\Delta x\to0}-\frac{\Delta x}{x^2+x\Delta x}\bigg/\Delta x\\{}\\ =\lim\limits_{\Delta x\to0}-\frac{1}{x^2+x\Delta x}\\{}\\ =-\frac{1}{x^2}$

现在，我们把$\frac{1}{x}$ 当成$x^{-1}$ 来求导：

$f(x)=\frac{1}{x}=x^{-1}\\{}\\ f^\prime(x)=\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}x^{-1}\\{}\\ =-1\cdot x^{-1-1}\\{}\\ =-x^{-2}\\{}\\ =-\frac{1}{x^2}$

有了以上的差商方式求导，可以看出前面章节所说的$x^n$ 的求导公式$\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}x^n=nx^{n-1}$ 中$n$ 的取值范围不仅仅是正整数，也可以取负正数值。那么$0$ 呢？可以这样考虑，除$0$ 以外的任何数的$0$ 次方都是$1$，$1$ 是一个常数，所以我们根本不用考虑，因为常数项的导数是$0$，根本就用不到$x^n$ 的求导公式，它就已经被消掉了。