积分的性质

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积分的性质

\displaystyle \int_a^b[f(x)+g(x)]dx=\int_a^bf(x)dx+\int_a^bg(x)dx\\{}\\ \int_a^bcf(x)dx=c\int_a^bf(x)dx\\{}\\ \int_a^bf(x)dx+\int_b^cf(x)dx=\int_a^cf(x)dx\\{}\\ \int_a^af(x)dx=0\\{}\\ \int_a^bf(x)dx=-\int_b^af(x)dx

\int符号原本是一个很大的S,然由于排版问题经常放不下,后来才把它变瘦成为\int

上面有五个积分运算法则,我们来验证下:

\displaystyle \int_b^af(x)dx=F(a)-F(b)\\{}\\ =-[F(b)-F(a)]=-\int_a^bf(x)dx

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实际上上图的a、b、c不需要使用a< b< c来约束。

积分估计

\displaystyle f(x)\leqslant g(x)\\{}\\ \int_a^bf(x)dx\leqslant\int_a^bg(x)dx\\{}\\ a< b

来点例子吧:

\displaystyle e^x\geqslant1,x\geqslant0\\{}\\ \int_0^be^xdx\geqslant\int_0^b1dx\\{}\\ \int_0^be^xdx=e^x\bigg|_0^b=e^b-1\\{}\\ \int_0^b1dx=b\\{}\\ e^b-1\geqslant b\Longleftrightarrow e^b\geqslant1+b\\{}\\ b\geqslant0

事实上当b是负的,它还是对的,但我们没证明它。

\displaystyle x\geqslant0,e^x\geqslant1+x\\{}\\ \int_0^bd^xdx\geqslant\int_0^b(1+x)dx\\{}\\ e^b-1\geqslant b+\frac{b^2}{2}\\{}\\ e^b\geqslant1+b+\frac{b^2}{2}\\{}\\ b\geqslant0

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