指数对数微分

自然指数函数求导

\displaystyle f(x)=e^x\\{}\\ f^\prime=\lim\limits_{\Delta x\to0}\frac{e^{x+\Delta x}-e^x}{\Delta x}\\{}\\ =\lim_{\Delta x\to0}e^x\cdot\frac{e^{\Delta x}-1}{\Delta x}\\{}\\ =\lim_{\color{Red}n\to+\infty}e^x\cdot \frac{e^{\color{red}\frac{1}{n}}-1}{\color{red}\frac{1}{n}}\\{}\\ \because e=\lim_{n\to+\infty}\left(1+\frac{1}{n}\right)^n\\{}\\ \therefore \lim_{n\to+\infty}e^x\cdot \frac{e^{\frac{1}{n}}-1}{\frac{1}{n}}\\{}\\ =\lim_{n\to+\infty}e^x\left[\left(\lim_{n\to+\infty}\left(1+\frac{1}{n}\right)^n\right)^{\frac{1}{n}}-1\right]n\\{}\\ =e^x

所以我们得出了一个结论：

(e^x)^\prime=e^x

自然对数函数求导

自然对数定义：y=e^x\Leftrightarrow\ln y=x

\ln(x_1x_2)=\ln x_1+\ln x_2
\\ln 1=0;\ln e=1

我们来用隐函数微分来求导\ln x：

\displaystyle f(x)=\ln x\\{}\\ \because e^{\ln x}=x\\{}\\ \therefore f(x)=\ln x\Rightarrow e^f=x\\{}\\ \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}(e^f=x)\Rightarrow\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}f}e^f\frac{\mathrm{d}f}{\mathrm{d}x}=1\\{}\\ \Rightarrow\frac{\mathrm{d}f}{\mathrm{d}x}=\frac{1}{e^f}=\frac{1}{x}\\{}\\ \Rightarrow f^\prime=\frac{1}{x}

我们得出自然对数函数导数的结论：

\displaystyle (\ln x)^\prime=\frac{1}{x}

任意指数函数求导

利用好a=e^{\ln a}的性质，这是「换底法」：

\displaystyle f(x)=a^x\\{}\\ f^\prime=(a^x)^\prime=[(e^{\ln a})^x]^\prime=(e^{x\ln a})^\prime

我们巧妙的把对a^x的求导问题转换成了对e^{x\ln a}的求导问题，但是要小心，这是个复合函数。前面的章节我们了解到复合函数的导数就是外部函数的导数和内部函数的导数的乘积：

y(x)=x\ln a\\{}\\ z(y)=e^y\\{}\\ (e^{x\ln a})^\prime=z^\prime y^\prime=(e^y)^\prime(x\ln a)^\prime\\{}\\ =e^y\ln a=(\ln a)e^{x\ln a}=(\ln a)a^x

我们得出了结论：

(a^x)^\prime=(\ln a)a^x

来点例子：

\displaystyle (2^x)^\prime=(\ln 2)2^x\\{}\\ (10^x)^\prime=(\ln 10)10^x

2和10是常用底数，自然对数具有自然属性，不管用什么底数，\ln都会出现，自然对数无需任何参考就会自然产生。

顺便用链式法则再来看看e^{cx}的求导，其中c是常数：

\displaystyle y(x)=cx\\{}\\ z(y)=e^y\\{}\\ (e^{cx})^\prime=z^\prime y^\prime=e^yc=ce^{cx}

我们得出了结论：

\displaystyle (e^cx)^\prime=ce^{cx}

我们可以继续推广e^{cx}的高阶导数的规律：

(e^{cx})^{\prime\prime}=(ce^{cx})^\prime=c^2e^{cx}\\{}\\ \Rightarrow (e^{cx})^{(n)}=c^ne^{cx}

对数微分法

上面说了「换底法」，现在来说说「对数微分法」，这两个方法始终适用于变动的指数。
对数微分法（其中u是单变量函数）：

\displaystyle (\ln u)^\prime=\frac{u^\prime}{u}\\{}\\ \because \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\ln u=\frac{\mathrm{d}\ln u}{\mathrm{d}u}\frac{\mathrm{d}u}{\mathrm{d}x}=\frac{1}{u}\frac{\mathrm{d}u}{\mathrm{d}x}=\frac{u^\prime}{u}

我们继续用这个方法看下a^x求导：

\displaystyle u=a^x\\{}\\ \ln u=x\ln a\\{}\\ (\ln u)^\prime=\ln a\\{}\\ \frac{u^\prime}{u}=(\ln u)^\prime=\ln a\\{}\\ u^\prime=u\ln a\\{}\\ (a^x)^\prime=(a^x)\ln a\\{}\\ (a^x)^\prime=(\ln a)a^x

来点例子：

\displaystyle f(x)=x^x\\{}\\ \ln f=x\ln x\\{}\\ (\ln f)^\prime=\ln x+x\cdot \frac{1}{x}\\{}\\ \frac{f^\prime}{f}=1+\ln x\\{}\\ \Rightarrow f^\prime=f\cdot(1+\ln x)\\{}\\ (x^x)^\prime=x^x(1+\ln x)

看下e的性质：

\displaystyle \lim_{n\to\infty}\left(1+\frac{1}{n}\right)^n\\{}\\ \ln \left[\lim_{n\to\infty}\left(1+\frac{1}{n}\right)^n\right]\\{}\\ =\lim_{n\to\infty}\left[n\ln\left(1+\frac{1}{n}\right)\right]\\{}\\ \Delta x=\frac{1}{n}\to0\\{}\\ =\frac{1}{\Delta x}\ln (1+\Delta x)\\{}\\ \ln 1=0\\{}\\ \frac{1}{\Delta x}\ln (1+\Delta x)\\{}\\ =\frac{1}{\Delta x}\left[\ln\left(1+\Delta x\right)-\ln 1\right]\\{}\\ =\frac{\ln (1+\Delta x)-\ln 1}{\Delta x}\\{}\\ \Longrightarrow \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\ln x\bigg|_{x=1}=\frac{1}{x}\bigg|_{x=1}=1\\{}\\ \lim_{n\to\infty}\left(1+\frac{1}{n}\right)^n\\{}\\ =\exp\left[\lim_{n\to\infty}\ln\left[\left(1+\frac{1}{n}\right)^n\right]\right]\\{}\\ =e^1=e

不妨我们在用指数的方式来看待下x^n求导问题：

\displaystyle a_k=\left(1+\frac{1}{k}\right)^k\\{}\\ \lim_{k\to\infty}a_k=e\\{}\\ \ln a_k\longrightarrow 1,(k\to\infty)\\{}\\ a_k=e^{\ln a_k}\longrightarrow e^1=e\\{}\\ \ln a_k=k\ln\left(1+\frac{1}{k}\right)=\to\infty\cdot0\\{}\\ \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}x^n=(e^{n\ln x})^\prime\\{}\\ =e^{n\ln x}(n\ln x)^\prime\\{}\\ =x^n\cdot\frac{n}{x}\\{}\\ =nx^{n-1}