二分查找法

概述

在介绍二分查找之前，对于基于数字索引的数组元素的查找，我们可能第一反应都是遍历这个数组，直到给定数组元素值和待查找的值相等时，返回索引值并退出，否则一直遍历到最后一个元素，如果还是没有找到则返回 -1，这样的查找虽然是简单粗暴了点，但是对于规模不大的数据集，也是没什么问题的，不过很明显，对于 n 个元素的数组，这种查找的时间复杂度是 O(n)，随着数据规模的增加，性能会越来越差，设想如果数据集的长度是 40 亿（约 2 的 32 次方），那么最差的情况需要遍历数组 40 亿次，简直不敢想象需要花费多长时间！那有没有性能搞好的算法来解决这个问题呢？

在进一步探讨这个问题之前，我们先来看一个生活中的例子。我们日常生活中，很多人应该有这种经历，朋友、同学或者同事淘了个宝贝，神秘兮兮的过来让大家猜多少钱，在约定一个价格范围之后（比如 10-100），大家会七嘴八舌的猜起价格来：

同事A：新淘了个宝贝，猜猜多少钱？

同事B：50块。

同事A：高了。

同事C：30块。

同事D：40块。

同事A：高了。

同事E：36块。

同事A：对了。

如果我们用顺序遍历的逻辑，最差需要 91 次，才能猜到价格，现实生活中，没人会这么干，我们采用上面这种逻辑，只需要 4 次就猜到价格了，快了几十倍，而且数据量越大，优势越明显。基于这种思路，我们的算法科学家提炼出了二分查找算法，帮助我们在给定数据集中快速定位要查找的元素。

实现原理

所谓二分查找，针对的是一个有序的数据集合（这点很重要），查找思想有点类似分治思想。每次都通过跟区间的中间元素对比，将待查找的区间缩小为之前的一半，直到找到要查找的元素，或者区间被缩小为 0。注意到二分查找针对的必须是已经排序过的有序数组，否则不能使用该算法。图示如下：

示例代码

<?php

    function binary_search($nums, $num)
    {
        return binary_search_internal($nums, $num, 0, count($nums) - 1);
    }

    function binary_search_internal($nums, $num, $low, $high)
    {
        if ($low > $high) {
            return -1;
        }

        $mid = floor(($low + $high) / 2);
        if ($num > $nums[$mid]) {
            return binary_search_internal($nums, $num, $mid + 1, $high);
        } elseif ($num < $nums[$mid]) {
            return binary_search_internal($nums, $num, $low, $mid - 1);
        } else {
            return $mid;
        }
    }

    $nums = [1, 2, 3, 4, 5, 6];
    $index = binary_search($nums, 5);
    print $index;

性能分析

很显然，二分查找的时间复杂度是 O(logn)。这是一个非常恐怖的数量级，有时候甚至比 O(1) 还要高效，比如我们要在开头提到的 40 亿个数字中查找某一个元素，也只需要32次（2 的 32 次方是 40 亿数量级），这真的是非常高效了，正因如此二分查找在线性表结构中的应用非常广泛。

但是使用二分查找需要注意一个前提，那就是针对有序数组，换言之，二分查找适用于变动不是很频繁的静态序列集，如果序列集变动很频繁，经常进行插入删除操作，那么就要不断维护这个序列集的排序，这个成本也很高，因此，这种情况下就不适用二分查找了，比如我们的数据库查询，增删改查很频繁，显然不是通过二分查找来进行查询的。

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