短时傅里叶变换原理理解

短时傅里叶变换原理

两年前经常做这些，不过很久没弄生疏了，最近接到这样的需求，有必要让我回忆一下，所以在此记录一下原理知识点。

短时傅里叶变换是最常用的一种时频分析方法，它通过时间窗内的一段信号来表示某一时刻的信号特征。在短时傅里叶变换过程中：

• 窗的长度决定频谱图的时间分辨率和频率分辨率。
• 窗长越长，截取的信号越长。
• 信号越长，傅里叶变换后的频率分辨率越高，时间分辨率越差。
• 相反，窗长越短，截取的信号就越短，频率分辨率越差，时间分辨率越好。

这个可以用海森堡不确定性原理来解释，时间和频率是一对不可兼得的矛盾体，所以绝对意义的瞬时频率是不存在的，只能分时段。

在短时傅里叶变换中，时间分辨率和频率分辨率之间不能兼得，应该根据具体需求进行取舍。

简单来说，短时傅里叶变换就是先把一个函数和窗函数进行相乘，然后再进行一维的傅里叶变换。并通过窗函数的滑动得到一系列的傅里叶变换结果，将这些结果竖着排开得到一个二维的表象。

傅里叶变换后，横轴为频率，纵轴为幅值
短时傅里叶变换后，横轴为时间，纵轴为频率

短时傅里叶变换（Short Time Fourier Transform，STFT）公式为：

\displaystyle X(t,f)=\int_{-\infty}^\infty w(t-\tau)x(\tau)e^{-j2\pi f\tau}d\tau

角频率表示法：

\displaystyle X(t,\omega)=\int_{-\infty}^\infty w(t-\tau)x(\tau)e^{-j\omega\tau}d\tau

X(t,\omega)是w(t,\omega)x(\tau)的傅里叶变换。

特性

积分特性\\{}\\ \displaystyle \int_{-\infty}^\infty X(t,f)df=\int_{t-B}^{t+B}x(\tau)\int_{-\infty}^\infty e^{-j2\pi f\tau}dfd\tau=\left\{ \begin{aligned} x(0);\ |t|\leqslant B\\ 0;\ |t|>B \end{aligned} \right.\\{}\\ 位移特性（时间轴方向的移动）\\{}\\ \int_{t-B}^{t+B}x(\tau+\tau_0)e^{-j2\pi f\tau}d\tau=X(t+\tau_0,f)e^{j2\pi f\tau_0}\\{}\\ 调制特性（频率轴方向的移动）\\{}\\ \int_{t-B}^{t+B}x(\tau)e^{j2\pi f_0\tau}d\tau=X(t,f-f_0)

窗函数

为了减少频谱能量泄漏，可采用不同的截取函数对信号进行截断，截断函数称为窗函数，简称为窗。

矩形窗函数\\{}\\ \displaystyle \omega(n)=R_M(n)=\left\{\begin{aligned}1,\ 0\leqslant n\leqslant M-1\\0,\ 其它\end{aligned}\right.\\{}\\ 三角窗函数\\{}\\ \omega(n)=0.5\left[1-\cos\left(\frac{2\pi n}{M+1}\right)\right],\ 1\leqslant n\leqslant M\\{}\\ hamming窗函数\\{}\\ \omega(n)=\left[0.54-0.46\cos\left(\frac{2\pi n}{M-1}\right)\right]R_M(n)

窗函数的主要类型

• 幂窗，采用时间变量某种幂次的函数，如矩形、三角形、梯形或其它时间 t 的高次幂。
• 三角函数窗，应用三角函数，即正弦或余弦函数等组合成复合函数，例如 hanning、hamming 窗等。
• 指数窗，采用指数时间函数，例如高斯窗等。

频谱（Spectrogram）

Spectrogram 即短时傅里叶转换后结果的绝对值平方，两者的本质上是相同的，在文献上也经常出现 Spectrogram 这个名词。

\displaystyle SP_x(t,f)=|X(t,f)|^2=\bigg|\int_{-\infty}^\infty w(t-\tau)x(\tau)e^{-j2\pi f\tau}d\tau\bigg|^2

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