短时傅里叶变换原理理解

短时傅里叶变换原理

两年前经常做这些,不过很久没弄生疏了,最近接到这样的需求,有必要让我回忆一下,所以在此记录一下原理知识点。

短时傅里叶变换是最常用的一种时频分析方法,它通过时间窗内的一段信号来表示某一时刻的信号特征。在短时傅里叶变换过程中:

  • 窗的长度决定频谱图的时间分辨率和频率分辨率。
  • 窗长越长,截取的信号越长。
  • 信号越长,傅里叶变换后的频率分辨率越高,时间分辨率越差。
  • 相反,窗长越短,截取的信号就越短,频率分辨率越差,时间分辨率越好。

这个可以用海森堡不确定性原理来解释,时间和频率是一对不可兼得的矛盾体,所以绝对意义的瞬时频率是不存在的,只能分时段。

在短时傅里叶变换中,时间分辨率和频率分辨率之间不能兼得,应该根据具体需求进行取舍。

简单来说,短时傅里叶变换就是先把一个函数和窗函数进行相乘,然后再进行一维的傅里叶变换。并通过窗函数的滑动得到一系列的傅里叶变换结果,将这些结果竖着排开得到一个二维的表象。

傅里叶变换后,横轴为频率,纵轴为幅值
短时傅里叶变换后,横轴为时间,纵轴为频率

短时傅里叶变换(Short Time Fourier Transform,STFT)公式为:

\displaystyle X(t,f)=\int_{-\infty}^\infty w(t-\tau)x(\tau)e^{-j2\pi f\tau}d\tau

角频率表示法:

\displaystyle X(t,\omega)=\int_{-\infty}^\infty w(t-\tau)x(\tau)e^{-j\omega\tau}d\tau

X(t,\omega)w(t,\omega)x(\tau)的傅里叶变换。

特性

积分特性\\{}\\ \displaystyle \int_{-\infty}^\infty X(t,f)df=\int_{t-B}^{t+B}x(\tau)\int_{-\infty}^\infty e^{-j2\pi f\tau}dfd\tau=\left\{ \begin{aligned} x(0);\ |t|\leqslant B\\ 0;\ |t|>B \end{aligned} \right.\\{}\\ 位移特性(时间轴方向的移动)\\{}\\ \int_{t-B}^{t+B}x(\tau+\tau_0)e^{-j2\pi f\tau}d\tau=X(t+\tau_0,f)e^{j2\pi f\tau_0}\\{}\\ 调制特性(频率轴方向的移动)\\{}\\ \int_{t-B}^{t+B}x(\tau)e^{j2\pi f_0\tau}d\tau=X(t,f-f_0)

窗函数

为了减少频谱能量泄漏,可采用不同的截取函数对信号进行截断,截断函数称为窗函数,简称为窗。

矩形窗函数\\{}\\ \displaystyle \omega(n)=R_M(n)=\left\{\begin{aligned}1,\ 0\leqslant n\leqslant M-1\\0,\ 其它\end{aligned}\right.\\{}\\ 三角窗函数\\{}\\ \omega(n)=0.5\left[1-\cos\left(\frac{2\pi n}{M+1}\right)\right],\ 1\leqslant n\leqslant M\\{}\\ hamming窗函数\\{}\\ \omega(n)=\left[0.54-0.46\cos\left(\frac{2\pi n}{M-1}\right)\right]R_M(n)

窗函数的主要类型

  • 幂窗,采用时间变量某种幂次的函数,如矩形、三角形、梯形或其它时间 t 的高次幂。
  • 三角函数窗,应用三角函数,即正弦或余弦函数等组合成复合函数,例如 hanning、hamming 窗等。
  • 指数窗,采用指数时间函数,例如高斯窗等。

频谱(Spectrogram)

Spectrogram 即短时傅里叶转换后结果的绝对值平方,两者的本质上是相同的,在文献上也经常出现 Spectrogram 这个名词。

\displaystyle SP_x(t,f)=|X(t,f)|^2=\bigg|\int_{-\infty}^\infty w(t-\tau)x(\tau)e^{-j2\pi f\tau}d\tau\bigg|^2

ai
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