时间复杂度计算和举例说明
时间复杂度#
- 一般情况下,算法中的基本操作语句的重复执行次数是问题规模 n 的某个函数,用 T (n) 表示,若有某个辅助函数
f(n)
,使得当n
趋近于无穷大时,T(n) / f(n)
的极限值为不等于零的常数,则称f(n)
是T(n)
的同数量级函数。记作T(n)=O( f(n) )
,称O( f(n) )
为算法的渐进时间复杂度,简称时间复杂度。 T(n)
不同,但时间复杂度可能相同。 如:T(n)=n²+7n+6 与 T(n)=3n²+2n+2
它们的T(n)
不同,但时间复杂度相同,都为O(n²)
。- 计算时间复杂度的方法:
- 用常数 1 代替运行时间中的所有加法常数
T(n)=n²+7n+6 => T(n)=n²+7n+1
- 修改后的运行次数函数中,只保留最高阶项
T(n)=n²+7n+1 => T(n) = n²
- 去除最高阶项的系数
T(n) = n² => T(n) = n² => O(n²)
- 用常数 1 代替运行时间中的所有加法常数
说白了就是找一个函数 F (n) 和 T (n) 对于复杂度的表示是等价的
当这个 n 趋近于无穷大的时候
然后这个 F (n) 更加容易计算,嗯
常见的时间复杂度#
这个敲黑板,划重点了
- 常数阶 O (1)
- 对数阶 O (log2n)
- 线性阶 O (n)
- 线性对数阶 O (nlog2n)
- 平方阶 O (n^2)
- 立方阶 O (n^3)
- k 次方阶 O (n^k)
- 指数阶 O (2^n)
留高次项和他的系数
说明:#
常见的算法时间复杂度由小到大依次为:Ο(1)<Ο(log2n)<Ο(n)<Ο(nlog2n)<Ο(n2)<Ο(n3)< Ο(nk) <Ο(2n),随着问题规模n的不断增大,上述时间复杂度不断增大,算法的执行效率越低 从图中可见,我们应该尽可能避免使用
指数阶 ` 的算法.
只要在你的算法中出现指数阶,你的算法一定很慢的
常数阶是最稳的
举例#
常数阶 O (1)#
无论代码执行了多少行,只要是没有循环等复杂结构,那这个代码的时间复杂度就都是 O (1)
int i = 1;
int j = 2;
++i;
j++;
int m=i+j;
上述代码在执行的时候,它消耗的时候并不随着某个变量的增长而增长,那么无论这类代码有多长,即使有几万几十万行,都可以用 O (1) 来表示它的时间复杂度。
对数阶 O (log2n)#
int i = 1;
while(i<n)
{
i = i*2;
}
说明:在 while 循环里面,每次都将 i 乘以 2,乘完之后,i 距离 n 就越来越近了。假设循环 x 次之后,i 就大于 2 了,此时这个循环就退出了,也就是说 2 的 x 次方等于 n,那么 x = log2n 也就是说当循环 log2n 次以后,这个代码就结束了。因此这个代码的时间复杂度为:O (log2n) 。 O (log2n) 的这个 2 时间上是根据代码变化的,i = i * 3 ,则是 O (log3n) .
回顾一下#
线性阶 O (n)#
for(i=1;i<=n;++i)
{
j = i;
j++;
}
说明:#
这段代码,for 循环里面的代码会执行 n 遍,因此它消耗的时间是随着 n 的变化而变化的,因此这类代码都可以用 O (n) 来表示它的时间复杂度
线性对数阶 O (nlogN)#
for(m=1;m<n;m++)
{
i=1;
while(i<n){
i = i*2;
}
}
说明:线性对数阶 O (nlogN) 其实非常容易理解,将时间复杂度为 O (logn) 的代码循环 N 遍的话,那么它的时间复杂度就是 n * O (logN),也就是了 O (nlogN)
平方阶 O (n²)#
for(x=1;i<n;x++)
{
for(i=1;i<=n;i++)
{
j=1;
j++;
}
}
说明:平方阶 O (n²) 就更容易理解了,如果把 O (n) 的代码再嵌套循环一遍,它的时间复杂度就是 O (n²),这段代码其实就是嵌套了 2 层 n 循环,它的时间复杂度就是 O (nn),即 O (n²) 如果将其中一层循环的 n 改成 m,那它的时间复杂度就变成了 O (mn)
立方阶 O (n³)、K 次方阶 O (n^k)#
说明:参考上面的 O (n²) 去理解就好了,O (n³) 相当于三层 n 循环,其它的类似
本作品采用《CC 协议》,转载必须注明作者和本文链接