那些数学公式

一、公式部分

勾股定理

$$

a^2+b^2=c^2

$$

一元二次方程组

$$

ax^2 + bx + c = 0

$$

$$

x = {-b \pm \sqrt{b^2-4ac} \over 2a}

$$

圆的标准方程

$$

(x-a)^2+(y-b)^2=r^2

$$

椭圆公式

$$

\frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}=1

$$

球的体积公式

$$

V_球=\frac{4\pi r^3}{3}, (r为半径)

$$

球的表面积公式

$$

S_球=4\pi r^2, (r为半径)

$$

指数

$$

a^{m+n}=a^m \cdot a^n \tag{1}

$$

$$

a^{m-n}=\frac{a^m}{a^n} \tag{2}

$$

$$

(ab)^{n}=a^n \cdot b^n \tag{3}

$$

$$

a^{\frac{m}{n}}=\sqrt[n]{a^m} \tag{4}

$$

对数

$$

a^N = b \Rightarrow \log_{a}{b} = N \tag{1}

$$

$$

\log_a(MN) = \log_aM + \log_aN \tag{2}

$$

$$

\log_a(\frac{M}{N}) = \log_aM - \log_aN \tag{3}

$$

$$

\log_a N = \frac{\log_bN}{\log_ba} (b>0,b\neq1) \tag{4}

$$

$$

\log_a M^n = n \cdot \log_a M \tag{5}

$$

$$

\log_{a^n} M = \frac{1}{n} \cdot \log_a M \tag{6}

$$

三角函数常用值

$$

\sin 30° = \frac{1}{2},\sin45°=\frac{\sqrt{2}}{2},\sin60°=\frac{\sqrt{3}}{2} \tag{1}

$$

$$

\cos 30° = \frac{\sqrt{3}}{2},\cos 45°=\frac{\sqrt{2}}{2},\cos 60°=\frac{1}{2} \tag{2}

$$

$$

\tan 30° = \sqrt{3},\cos 45°=1,\cos 60°=\frac{\sqrt{3}}{3} \tag{3}

$$

三角函数

$$

\tan x = \frac{\sin x}{\cos x},\cot x = \frac{\cos x}{\sin x}

$$

反三角函数

$$

y=\sin x,x=\arcsin y

$$

$$

y=\cos x,x=\arccos y

$$

和差角公式

$$

\sin(\alpha+\beta) = \sin \alpha \cos \beta + \cos\alpha\sin\beta

$$

$$

\sin(\alpha-\beta) = \sin \alpha \cos \beta - \cos\alpha\sin\beta

$$

$$

\cos(\alpha+\beta) = \cos \alpha \cos \beta - \sin\alpha\sin\beta

$$

$$

\cos(\alpha-\beta) = \cos \alpha \cos \beta + \sin\alpha\sin\beta

$$

和差化积公式

$$

\sin \alpha + \sin \beta =2 \sin \frac{\alpha + \beta}{2}\cos \frac{\alpha - \beta}{2}

$$

倍角公式

$$

\sin2\alpha=2\sin\alpha\cos\beta

$$

$$

\begin{aligned}

\cos2\alpha &= 2\cos \alpha^2-1 \

&= 1-2\sin^2\alpha \

&= cos^2\alpha-\sin^2\alpha \

\end{aligned}

$$

$$

\tan 2\alpha=\frac{2\tan\alpha}{1-\tan^2\alpha}

$$

半角公式

$$

\sin^2{\frac{\alpha}{2}}=\frac{1-\cos{\alpha}}{2}

$$

$$

\cos^2{\frac{\alpha}{2}}=\frac{1+\cos{\alpha}}{2}

$$

$$

\tan{\frac{\alpha}{2}}=\frac{\sin{\alpha}}{1+\cos\alpha}=\frac{1-\cos\alpha}{\sin\alpha}

$$

微分公式（导数公式）

$$

(c)^\prime = 0,(c为常数) \tag{1}

$$

$$

(a^x)^\prime = a^x \ln a \tag{2}

$$

$$

(e^x)^\prime = e^x \tag{3}

$$

$$

(x^n)^\prime = nx^{n-1} \tag{4}

$$

$$

(\log_ax)^\prime = \frac{1}{x\ln a} \tag{5}

$$

$$

(\ln x)^\prime = \frac{1}{x} \tag{6}

$$

$$

(\sin x)^\prime = \cos x \tag{7}

$$

$$

(\cos x)^\prime = -\sin x \tag{8}

$$

$$

(\tan x)^\prime = \frac{1}{\cos^2x} = \sec^2x \tag{9}

$$

$$

(\arcsin x)^\prime = \frac{1}{\sqrt{1-x^2}} \tag{10}

$$

$$

(\cot x)^\prime = -\frac{1}{\sin^2x} \tag{11}

$$

$$

(uv)^\prime=u^\prime \cdot v + u \cdot v^\prime \tag{12}

$$

复合函数的求导法则

设 $y=f(u)$,而 $u=g(x)$ 且 $f(u)$ 及 $g(x)$ 都可导，则符合函数 $y=f[g(x)]$ 的导数为

$$

\frac{dy}{dx}=\frac{dy}{du}\cdot\frac{du}{dx} 或 y’(x) = f’(u)\cdot{g’(x)}

$$

高阶导数公式

$$

(uv)^{(n)}=\sum_{k=0}^{n} C_n^k u^{(n-k)} v^k

$$

常用积分公式

$$

\int k\mathrm{d}x = kx+C \tag{1}

$$

$$

\int x^\mu \mathrm{d}x = \frac{x^{\mu+1}}{\mu+1}+C \tag{2}

$$

$$

\int \frac{1}{x}\mathrm{d}x= \ln \left| x \right| +C \tag{3}

$$

$$

\int \frac{1}{1+x^{2}}\mathrm{d}x= \arctan x +C \tag{4}

$$

$$

\int \frac{1}{\sqrt{1-x^{2}}}\mathrm{d}x= \arcsin x +C \tag{5}

$$

$$

\int \cos x \mathrm{d}x= \sin x +C \tag{6}

$$

$$

\int \sin x \mathrm{d}x= -\cos x +C \tag{7}

$$

$$

\int \frac{1}{\cos^2x} \mathrm{d}x= \tan x +C \tag{8}

$$

$$

\int \frac{1}{\sin^2x} \mathrm{d}x= -\cot x +C \tag{9}

$$

$$

\int \sec x \tan x \mathrm{d}x= \sec x +C \tag{10}

$$

$$

\int \csc x \cot x \mathrm{d}x= -\csc x +C \tag{11}

$$

$$

\int e^x \mathrm{d}x= e^x +C \tag{12}

$$

$$

\int a^x \mathrm{d}x= \frac{a^x}{\ln a} +C \tag{13}

$$

$$

\int sh x \mathrm{d}x= ch x +C \tag{14}

$$

$$

\int ch x \mathrm{d}x= sh x +C \tag{15}

$$

不定积分

$$

\int f(x)\mathrm{d}x = F(x) + c

$$

牛顿-莱布尼兹公式

如果函数(f(x))在区间([a,b])上连续，并且存在原函数(F(x))，则

$$

\int_a^b f(x)\mathrm{d}x = F(b)-F(a)=F(x)|_a^b

$$

三角函数积分

$$

\sin x = { 2u \over 1 + u^ 2}

$$

$$

\cos x = { 1-u^2 \over 1 + u^ 2}

$$

全微分公式

$$

dz = {{\partial z} \over {\partial x}}dx + { {\partial z} \over {\partial y}}dy

$$

$$

du = {{\partial u} \over {\partial x}}dx + { {\partial u} \over {\partial y}}dy + { {\partial u} \over {\partial z}}dz

$$

两个重要极限

$$

\lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x}=1 \tag{1}

$$

$$

\lim_{x \to \infty} (1+\frac{1}{x} )^x = e \tag{2}

$$

洛必达法则

$$

\lim_{x \to a}{\frac{f(x)}{F(x)}}=\lim_{x \to a}{\frac{f^\prime(x)}{F^\prime(x)}}

$$

$$

\lim_{x \to +\infty}\frac{\ln x}{x^2}=\lim_{x\to +\infty}\frac{\frac{1}{x}}{2x}=\lim_{x\to+\infty}\frac{1}{2x^2}=0

$$

常用极限

$$

\lim_{x \to \infty} \sqrt[x]{a} = 1

$$

$$

\lim_{x \to \infty} \sqrt[x]{x} = 1

$$

分部积分法

$$

\int u \frac{\mathrm{d}v}{\mathrm{d}x},\mathrm{d}x=uv-\int \frac{\mathrm{d}u}{\mathrm{d}x}v,\mathrm{d}x

$$

$$

\int u \mathrm{d}v = u \cdot v - \int v \mathrm{d}u

$$

旋转体的体积计算

$$

\int \pi f^2(x) \mathrm{d}x

$$

二重积分

$$

\iint_{a}^{b} f(x,y) \mathrm{d}x \mathrm{d}y

$$

$$

\int_{0}^{1} \mathrm{d}y \int_{0}^{1} f(x,y) \mathrm{d}x

$$

$$

\iint\limits_D dx,dy

$$

常数项级数

$$

\sum_{n=1}^{\infty}{u_n}

$$

幂级数

$$

a_0+a_1x+a_2x^2+\cdots+a_nx^n+\cdots= \sum_{n=1}^{\infty}{a_nx^n}

$$

收敛半径

$$

R=\frac{1}{\rho}=\frac{u_{n+1}}{u_n}

$$

傅里叶级数

行列式计算

$$

\begin{vmatrix}

1 & 2 & 3\

4 & 5 & 6\

7 & 8 &9

\end{vmatrix}=1×5×9+2×6×7+3×4×8-(3×5×7+2×4×9+6×8×1)=n

$$

矩阵

$$

\begin{bmatrix}

1 & 2 & 3\

4 & 5 & 6\

7 & 8 &9

\end{bmatrix}

$$

二项式系数

$$

\dbinom{n}{r}=\binom{n}{n-r}=\mathrm{C}_n^r=\mathrm{C}_n^{n-r}

$$

齐次线性方程组

$$

\begin{cases}

3x + 5y + z \

7x - 2y + 4z \

-6x + 3y + 2z

\end{cases}

$$

$$

\left{\begin{aligned}

3x + 5y + z \

7x - 2y + 4z \

-6x + 3y + 2z

\end{aligned}\right.

$$

$$

f(x)=\begin{cases}

1, & x>0\

0, & x=0\

    -1, & x<0

\end{cases}

$$

等差数列公式

$$

a_{n}=a_{1}+ \left( n-1 \left) d\right. \right.

$$

等差数列的前N项和

$$

S_{n}=\frac{n \left( a_{1}+a_{n}\right)}{2}=na_{1}+\frac{n \left( n-1 \right)}{{2}}d

$$

等比数列公式

$$

a_{n}=a_{1}q^{n-1}

$$

等比数列的前N项和

$$

S_{n}=\frac{a_1(1-q^n)}{1-q}=\frac{a_1+a_nq}{1-q}

$$

等差中项

2b=a+c,(a,b,c为等差数列)

等比中项

b^2=a \cdot c,(a,b,c为等比数列)

裂项相消法

$$

若 \frac{1}{n(n+1)}=\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1},则有T_n=1-\frac{1}{n+1}=\frac{n}{n+1} \tag{1}

$$

二项式定理

$$

(a+b)^n=C_{n}^{0}a^n+C_{n}^{1}a^{n-1}b^1+C_{n}^{2}a^{n-2}b^2+\cdots+C_{n}^{k}a^{n-k}b^k+\cdots+C_{n}^{n}b^n

$$

$$

(a+b)^n=\sum_{r=0}^{n}{C_{n}^{r}a^{n-r}b^r}

$$

二项展开式的通项

$$

T_{r+1}=C_{n}^{r}a^{n-r}b^r

$$

平面方程

$$

Ax+By+Cz+D=0

$$

空间两点的距离公式

$$

d=|M_1M_2|=\sqrt{(x_2-x_1)^2 + (y_2-y_1)^2 + (z_2-z_1)^2}

$$

平面的点法式方程

$$

A(x-x_0)+B(y-y_0)+C(z-z_0)=0

$$

• 法向量(\vec n={A,B,C})

直线与平面的夹角

$$

\sin \theta=\frac{Al+Bm+Cn}{\sqrt{A^2+B^2+C^2} \cdot \sqrt{l^2+m^2+n^2}}

$$

两平面的夹角

$$

\cos \theta=\frac{A_1A_2+B_1B_2+C_1C_2}{\sqrt{A_1^2+B_1^2+C_1^2} \cdot \sqrt{A_2^2+B_2^2+C_2^2}}

$$

点到平面的距离公式

$$

d=\frac{|Ax_0+By_0+Cz_0+D|}{\sqrt{A^2+B^2+C^2}}

$$

空间直线方程

$$

\frac{x-x_0}{m}=\frac{y-y_0}{n}=\frac{z-z_0}{p}=t

$$

点到直线的距离

• 点：(M(x_0,y_0,z_0))

• 直线：({L_1：\frac{x-x_1}{l_1}=\frac{y-y_1}{m_1}=\frac{z-z_1}{n_1}})

$$

d=未写

$$

极坐标公式

$$

\left{\begin{matrix}

x=a + r\text{cos}\theta \

y=b + r\text{sin}\theta

\end{matrix}\right. \tag{圆的参数方程}

$$

双曲线

• $a>0,b>0$

$$

\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1

$$

微分方程

$$

变量代换u=\frac{y}{x},于是y=xu,y^\prime=u+xu^\prime,原方程可以化为u+xu^\prime=f(u)，这就得到一个变量分离的方程

$$

$$

\frac{dy}{dx}=u+x\frac{du}{dx}

$$

等式写法

$$

\begin{aligned}

& \int \cos^2x dx \

=& \frac{1}{2} (\frac{1}{2} \int du + \int \frac{1}{2}\cos u du) \

=& \frac{1}{2} \int dx + \frac{1}{4} \int \cos u du \

=& \frac{x}{2} + \frac{\sin 2x}{4} + C

\end{aligned}

$$

常用导数公式整理

$$

\begin{aligned}

(C)’&=0\

(x^{\mu})’&=\mu x^{\mu -1}\

(a^x)’&=a^x\ln a\quad(a\gt0,a\ne 1)\

(\log_a x)’&=\dfrac{1}{x\ln a}\

(\sin x)’&=\cos x\

(\cos x)’&=-\sin x\

(\tan x)’&=\sec^2 x\

(\cot x)’&=-\csc^2 x\

(\sec x)’&=\sec x\tan x\

(\csc x)’&=-\csc x\cot x\

(\arcsin x)’&=\dfrac{1}{\sqrt{1-x^2}}\

(\arccos x)’&=-\dfrac{1}{\sqrt{1-x^2}}\

(\arctan x)’&=\dfrac{1}{1+x^2}\

({\rm arccot} x)’&=-\dfrac{1}{1+x^2}\

(e^x)^{(n)}&=e^x\

(\sin x)^{(n)}&=\sin(x+\dfrac{n\pi}{2})\

(\cos x)^{(n)}&=\cos(x+\dfrac{n\pi}{2})\

(\ln(1+x))^{(n)}&=(-1)^{n-1}\dfrac{(n-1)!}{(1+x)^n}\

(x^\mu)^{(n)}&=\mu^{\underline{n}}x^{\mu-n}\

\end{aligned}

$$

常用积分公式整理

$$

\begin{align}

&1.\int0{\rm d}x=C\

&2.\int1{\rm d}x=\int{\rm d}x=x+C\

&3.\int x^a{\rm d}x=\dfrac{x^{a+1}}{a+1}+C(a\ne-1,x\gt0)\

&4.\int\dfrac1x{\rm d}x=\ln |x|+C(x\ne0)\

&5.\int e^x{\rm d}x=e^x+C\

&6.\int a^x{\rm d}x=\dfrac{a^x}{\ln a}+C(a \gt 0,a\ne1)\

&7.\int\cos ax{\rm d}x=\dfrac1a\sin ax+C(a\ne0)\

&8.\int\sin ax{\rm d}x=-\dfrac1a\cos ax+C(a\ne0)\

&9.\int\sec^2x{\rm d}x=\tan x+C\

&10.\int\csc^2x{\rm d}x=-\cot x+C\

&11.\int\sec x\cdot\tan x{\rm d}x=\sec x+C\

&12.\int\csc x\cdot\cot x{\rm d}x=-\csc x+C\

&13.\int\dfrac{{\rm d}x}{\sqrt{1-x^2}}=\arcsin x+C=-\arccos x+C_1\

&14.\int\dfrac{{\rm d}x}{1+x^2}=\arctan x+C=-{\rm arccot} x+C_1.

\end{align}

$$

$$

15. \int[k_1f(x)+k_2g(x)]{\rm d}x=k_1\int f(x){\rm d}x+k_2\int g(x){\rm d}x

$$

泰勒展开式

$$

\begin{align}

sinx&=x-\frac1{3!}x^3+\frac1{5!}x^5+o(x^5)\

arcsinx&=x+\frac1{3!}x^3+o(x^3)\

cosx&=1-\frac1{2!}x^2+\frac1{4!}x^4+o(x^4)\

tanx&=x+\frac13x^3+o(x^3)\

arctanx&=x-\frac13x^3+\frac15x^5+o(x^7)\

e^x&=1+x+\frac1{2!}x^2+\frac1{3!}x^3+o(x^3)\

ln(1+x)&=x-\frac12x^2+\frac13x^3\

(1+x)^\alpha&=1+\alpha x+\frac{\alpha (\alpha-1)}{2!}x^2+o(x^2)

\end{align}

$$

$$

x-sinx \backsim \frac16x^3\

x-arcsinx \backsim -\frac16x^3\

x-tanx \backsim -\frac13x^3\

x-arctanx \backsim \frac13x^3\

x-ln(1+x)\backsim \frac12x^2\

$$

麦克劳林展开式

$$

\begin{align}

\frac{1}{1-x}=1+x+x^2+…+x^n+…,x\in (-1,1) \

\frac{1}{1+x}=1-x+x^2-…+(-1)^nx^n+…,x\in (-1,1) \

e^x=1+x+\frac{x^2}{2!}+…+\frac{x^n}{n!}+…,x\in R \

\sin x=x-\frac{x^3}{3!}+…+\frac{(-1)^nx^{2n+1}}{(2n+1)!}+…,x\in R \

\cos x=\sin’ x=1-\frac{x^2}{2!}+…+\frac{(-1)^nx^{2n}}{(2n)!}+…,x\in R \

\ln (1+x)=x-\frac{x^2}{2}+…+\frac{(-1)^{n-1}x^n}{n}+…,x\in R \

\end{align}

$$

二、例题部分

（1）求极限

$$

\begin{align*}

&\lim_{x \to 0} \frac{2^x+\sin{2x}-1}{x} \

=&\lim_{x \to 0} \frac{2^x-1}{x} +\lim_{x \to 0} \frac{\sin{2x}}{x} \

=&\lim_{x \to 0} \frac{x\ln 2}{x} + 2 \

=& 2 + \ln 2

\end{align*}

$$

（2）求极限2021贵州专升本

$$

\begin{align*}

&\lim_{x \to 0} x \cdot \sin \frac{1}{8x} \

=&0

\end{align*}

$$

（3）计算2021贵州专升本

$$

\begin{align*}

&\lim_{x \to 0} (\frac{5x+2}{5x+3})^{x+4}

\end{align*}

$$

（4）计算2018贵州专升本

$$

\begin{align*}

\int \frac{e^{2x}}{\sqrt{e^x+1}} dx

\end{align*}

$$

（5）求不定积分2021贵州专升本

$$

\begin{align*}

…

\end{align*}

$$

（6）求极限2001贵州专升本

$$

\begin{align*}

&\lim_{x \to 0} \frac{\sin3x}{5x}

\end{align*}

$$

（6）求极限2001贵州专升本

$$

\begin{align*}

&\lim_{x \to \infty} (\frac{x-1}{x+1})^x

\end{align*}

$$

（7）2001贵州专升本

$$

\begin{align*}

&\int x \cdot e^{\sqrt{x^2-1}}

\end{align*}

$$

（8）2001贵州专升本

$$

\begin{align*}

&\int_0^\pi \sqrt{\sin x - \sin^3 x} dx

\end{align*}

$$

• 公式请到这里写 latexlive.com/home

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