2023-05-09：石子游戏中，爱丽丝和鲍勃轮流进行自己的回合，爱丽丝先开始 。
有 n 块石子排成一排。
每个玩家的回合中，可以从行中 移除 最左边的石头或最右边的石头，
并获得与该行中剩余石头值之 和 相等的得分。当没有石头可移除时，得分较高者获胜。
鲍勃发现他总是输掉游戏（可怜的鲍勃，他总是输），
所以他决定尽力 减小得分的差值 。爱丽丝的目标是最大限度地 扩大得分的差值 。
给你一个整数数组 stones ，其中 stones[i] 表示 从左边开始 的第 i 个石头的值，
如果爱丽丝和鲍勃都 发挥出最佳水平 ，请返回他们 得分的差值 。
输入：stones = [5,3,1,4,2] 。
输出：6 。

答案2023-05-09：

该问题的解法有多种，下面分别对三个函数的实现过程进行详细描述。

1.递归版

该函数使用递归实现了石子游戏。首先计算出整个石子数组的和sum，然后调用f函数获取Alice获得的最大得分，再调用s函数获取Bob获得的最大得分，最终计算出差值并返回。

f函数表示当前轮到Alice操作，从L位置取走一个石头或从R位置取走一个石头的情况下，Alice能获得的最大得分。将这两种情况所获得的得分与对手（Bob）相比较，选择更优的方案。其中，对手的得分由s函数计算。

s函数表示当前轮到Bob操作，在剩余石子中选择一个最优的石子让Alice取走，并计算自己的得分。此处需要注意，当前是Bob在操作，但是得分却是Alice决定的，因为Alice可以在自己的回合中选择拿走哪一块石头，进而影响Bob的得分。

时间复杂度为$O(2^n)$，空间复杂度为$O(n)$，其中n是石头的数量。

因为在每一层递归中，都会有两种分支需要继续递归下去，所以总共会有2^n个叶子节点。另外，由于递归的深度最多为n层，所以需要O(n)的栈空间来存储每一层递归的状态。

2.动态规划版

该函数使用动态规划实现了石子游戏。首先计算出整个石子数组的前缀和presum，然后定义两个二维数组dpf和dps。其中，dpf[i][j]表示当只剩下第i到第j块石头时，先手（即Alice）能够获得的最大得分；dps[i][j]表示当只剩下第i到第j块石头时，后手（即Bob）能够获得的最大得分。

接着，从右下角开始倒序遍历数组，计算出dpf和dps数组的值。具体计算方法如下：

• 当前轮到先手操作，先手可以选择拿走第i块石头或第j块石头。如果先手拿走了第i块石头，则后手只能在第i+1到第j块石头中进行选择，在这种情况下，先手能够获得的得分为sumLR - stones[i] + dps[L+1][R]，其中sumLR表示第i到第j块石头的和，dps[L+1][R]表示后手在第i+1到第j块石头中能够获得的最大得分。如果先手拿走了第j块石头，则后手只能在第i到第j-1块石头中进行选择，在这种情况下，先手能够获得的得分为sumLR - stones[j] + dps[L][R-1]，其中dps[L][R-1]表示后手在第i到第j-1块石头中能够获得的最大得分。因为是先手行动，所以先手最终能够获得的得分为这两种情况中的较大值。
• 当前轮到后手操作，后手只能在剩余的石头中选择一个最优的石头让先手取走，并计算自己的得分。即后手能够获得的最大得分为sumLR - stones[i] + dps[L+1][R]或sumLR - stones[j] + dps[L][R-1]中的较大值。

最终，返回dpf[0][n-1] - dps[0][n-1]的绝对值，即Alice和Bob得分的差值。

时间复杂度为$O(n^2)$，空间复杂度为$O(n^2)$，其中n是石头的数量。

计算dpf和dps数组的过程需要遍历所有的状态，其中每个状态需要O(1)的时间进行计算，因此总时间复杂度为$O(n^2)$。另外，因为需要维护两个二维数组，所以需要O(n^2)的额外空间来存储这些状态。

3.另一种尝试

该函数使用动态规划实现了石子游戏。定义dp[len][i]表示从第i块石头出发，当长度为len时，Alice能比Bob多多少分？其中所谓的长度为len是指剩下的石头数量。例如，假设当前还剩下5块石头，即len=5，则dp[5][i]表示从第i块石头出发，当只剩下5块石头时，Alice能比Bob多多少分。

首先，如果剩余的石头数量为偶数，那么Alice一定会选择先手，并且每次都取走价值最高的石头。因此，对于所有的i，dp[1][i]都等于stones[i]。对于剩余的情况，我们需要使用动态规划来计算dp[len][i]。具体来说，我们可以考虑当前轮到先手操作，他可以选择拿走第i块石头或第j块石头，然后根据后续状态递归计算。

因为状态之间存在依赖关系，所以我们可以倒序遍历数组，从右下角开始计算。具体来说，我们可以按照如下方式进行状态转移：

• 如果当前是先手操作，那么他可以选择拿走第i块石头或第j块石头。如果他选择了第i块石头，那么剩下的石头数量就变成了len-1，并且下一个人变成了后手，此时当前状态的价值为stones[i]-dp[len-1][i+1]；如果他选择了第j块石头，那么剩下的石头数量也变成了len-1，但是下一个人仍然是后手，此时当前状态的价值为stones[j]-dp[len-1][i]。因为是先手行动，所以他会选择让自己的得分更高，即dp[len][i]=max(stones[i]-dp[len-1][i+1], stones[j]-dp[len-1][i])。
• 如果当前是后手操作，那么他只能在剩余的石头中选择一个最优的石头让先手取走，并计算自己的得分。具体来说，如果他选择了第i块石头，那么剩余的石头数量就变成了len-1，并且下一个人变成了先手，此时当前状态的价值为-dp[len-1][i+1]；如果他选择了第j块石头，那么剩余的石头数量也变成了len-1，但是下一个人仍然是先手，此时当前状态的价值为-dp[len-1][i]。因为是后手行动，所以他会选择让自己的得分更高，即dp[len][i]=min(-dp[len-1][i+1], -dp[len-1][i])。

最终，我们返回dp[0][n-1]的值，即从第0块石头出发，当长度为n时，Alice能比Bob多多少分。

时间复杂度为$O(n^2)$，空间复杂度为$O(n^2)$，其中n是石头的数量。

计算dp数组的过程需要遍历所有的状态，其中每个状态需要O(1)的时间进行计算，因此总时间复杂度为$O(n^2)$。另外，由于需要维护一个二维数组，所以需要$O(n^2)$的额外空间来存储这些状态。

三种算法总结

综上所述，第二种和第三种方法的时间复杂度和空间复杂度相同，都比第一种方法更加高效。在实际使用中，我们应该优先选择动态规划算法来解决这类问题，因为它能够在多项式时间内求解，而递归算法则往往会导致指数级别的复杂度。

go完整代码如下：

package main

import (
    "fmt"
)

// 递归版
func stoneGameVII1(stones []int) int {
    sum := 0
    for _, num := range stones {
        sum += num
    }
    alice := f(stones, sum, 0, len(stones)-1)
    bob := s(stones, sum, 0, len(stones)-1)
    return abs(alice - bob)
}

// 先手
func f(stones []int, sum, L, R int) int {
    if L == R { // 只能一块儿了！
        return 0
    }

    // L为起点
    p1 := sum - stones[L] + s(stones, sum-stones[L], L+1, R)
    against1 := f(stones, sum-stones[L], L+1, R)

    // R为终点
    p2 := sum - stones[R] + s(stones, sum-stones[R], L, R-1)
    against2 := f(stones, sum-stones[R], L, R-1)

    if p1-against1 > p2-against2 {
        return p1
    }
    return p2
}

// 后手！
func s(stones []int, sum, L, R int) int {
    if L == R {
        return 0
    }

    // 当前的是后手
    // 对手，先手！
    against1 := sum - stones[L] + s(stones, sum-stones[L], L+1, R)
    // 当前用户的得分！后手！是对手决定的！
    get1 := f(stones, sum-stones[L], L+1, R)

    against2 := sum - stones[R] + s(stones, sum-stones[R], L, R-1)
    get2 := f(stones, sum-stones[R], L, R-1)

    if against1-get1 > against2-get2 {
        return get1
    }
    return get2
}

// 动态规划版
func stoneGameVII2(stones []int) int {
    n := len(stones)
    presum := make([]int, n+1)
    for i := 0; i < n; i++ {
        presum[i+1] = presum[i] + stones[i]
    }
    dpf := make([][]int, n)
    dps := make([][]int, n)
    for i := range dpf {
        dpf[i] = make([]int, n)
        dps[i] = make([]int, n)
    }

    for L := n - 2; L >= 0; L-- {
        for R := L + 1; R < n; R++ {
            sumLR := presum[R+1] - presum[L]
            a := sumLR - stones[L] + dps[L+1][R]
            b := dpf[L+1][R]
            c := sumLR - stones[R] + dps[L][R-1]
            d := dpf[L][R-1]
            if a-b > c-d {
                dpf[L][R] = a
                dps[L][R] = b
            } else {
                dpf[L][R] = c
                dps[L][R] = d
            }
        }
    }
    return abs(dpf[0][n-1] - dps[0][n-1])
}

// 另一种尝试 + static动态规划表 + 空间压缩 + 尽量优化
// dp[len][i] : 从i出发，当长度为len的情况下，Alice能比Bob多多少分？
// 要注意结算时机！这是这种尝试的核心！
var dp [1000]int

// 时间复杂度和刚才讲的一样！
func stoneGameVII3(stones []int) int {
    n := len(stones)
    for i := 0; i < n; i++ {
        dp[i] = 0
    }

    if n%2 == 0 {
        for i := 0; i < n; i++ {
            dp[i] = stones[i]
        }
    }

    alicePick := n%2 == 0
    for len := 2; len <= n; len, alicePick = len+1, !alicePick {
        for i, j := 0, len-1; j < n; i, j = i+1, j+1 {
            if alicePick {
                dp[i] = max(dp[i], dp[i+1])
            } else {
                dp[i] = min(dp[i]+stones[j], stones[i]+dp[i+1])
            }
        }
    }
    return dp[0]
}

func abs(a int) int {
    if a < 0 {
        return -a
    }
    return a
}

func max(a, b int) int {
    if a > b {
        return a
    }
    return b
}

func min(a, b int) int {
    if a < b {
        return a
    }
    return b
}

func main() {
    stones := []int{5, 3, 1, 4, 2}
    fmt.Println(stoneGameVII1(stones))
    fmt.Println(stoneGameVII2(stones))
    fmt.Println(stoneGameVII3(stones))
}

rust完整代码如下：

fn main() {
    let stones = vec![5, 3, 1, 4, 2];
    let result = stone_game_vii1(stones);
    println!("{}", result);

    let stones = vec![5, 3, 1, 4, 2];
    let result = stone_game_vii2(stones);
    println!("{}", result);

    let stones = vec![5, 3, 1, 4, 2];
    let result = stone_game_vii3(stones);
    println!("{}", result);
}

fn stone_game_vii1(stones: Vec<i32>) -> i32 {
    let sum: i32 = stones.iter().sum();
    let alice = f(&stones, sum, 0, stones.len() - 1);
    let bob = s(&stones, sum, 0, stones.len() - 1);
    (alice - bob).abs()
}

// 先手
fn f(stones: &Vec<i32>, sum: i32, l: usize, r: usize) -> i32 {
    if l == r {
        return 0;
    }

    // p1
    let p1 = sum - stones[l] + s(stones, sum - stones[l], l + 1, r);
    let against1 = f(stones, sum - stones[l], l + 1, r);

    // p2
    let p2 = sum - stones[r] + s(stones, sum - stones[r], l, r - 1);
    let against2 = f(stones, sum - stones[r], l, r - 1);

    if p1 - against1 > p2 - against2 {
        p1
    } else {
        p2
    }
}

// 后手
fn s(stones: &Vec<i32>, sum: i32, l: usize, r: usize) -> i32 {
    if l == r {
        return 0;
    }

    let against1 = sum - stones[l] + s(stones, sum - stones[l], l + 1, r);
    let get1 = f(stones, sum - stones[l], l + 1, r);

    let against2 = sum - stones[r] + s(stones, sum - stones[r], l, r - 1);
    let get2 = f(stones, sum - stones[r], l, r - 1);

    if against1 - get1 > against2 - get2 {
        get1
    } else {
        get2
    }
}

fn stone_game_vii2(stones: Vec<i32>) -> i32 {
    let n = stones.len();
    let mut presum = vec![0; n + 1];
    for i in 0..n {
        presum[i + 1] = presum[i] + stones[i];
    }

    let mut dpf = vec![vec![0; n]; n];
    let mut dps = vec![vec![0; n]; n];

    for l in (0..n - 1).rev() {
        for r in l + 1..n {
            let sum_lr = presum[r + 1] - presum[l];
            let a = sum_lr - stones[l] + dps[l + 1][r];
            let b = dpf[l + 1][r];
            let c = sum_lr - stones[r] + dps[l][r - 1];
            let d = dpf[l][r - 1];
            dpf[l][r] = if a - b > c - d { a } else { c };
            dps[l][r] = if a - b > c - d { b } else { d };
        }
    }

    (dpf[0][n - 1] - dps[0][n - 1]).abs()
}

fn stone_game_vii3(stones: Vec<i32>) -> i32 {
    let n = stones.len();
    let mut dp = unsafe { DP };
    dp.iter_mut().take(n).for_each(|x| *x = 0);

    if n % 2 == 0 {
        for i in 0..n {
            dp[i] = stones[i];
        }
    }

    let mut alice_pick = n % 2 == 0;
    for len in 2..=n {
        for i in 0..=(n - len) {
            let j = i + len - 1;
            dp[i] = if alice_pick {
                dp[i].max(dp[i + 1])
            } else {
                (dp[i] + stones[j]).min(stones[i] + dp[i + 1])
            };
        }
        alice_pick = !alice_pick;
    }

    dp[0]
}

static mut DP: [i32; 1000] = [0; 1000];

c完整代码如下：

#include <stdio.h>
#include <stdlib.h>

int f(int* stones, int sum, int L, int R);
int s(int* stones, int sum, int L, int R);

int stoneGameVII1(int* stones, int stonesSize) {
    int sum = 0;
    for (int i = 0; i < stonesSize; i++) {
        sum += stones[i];
    }
    int alice = f(stones, sum, 0, stonesSize - 1);
    int bob = s(stones, sum, 0, stonesSize - 1);
    return abs(alice - bob);
}

// 先手
int f(int* stones, int sum, int L, int R) {
    if (L == R) { // 只能一块儿了！
        return 0;
    }

    // L为起点
    int p1 = sum - stones[L] + s(stones, sum - stones[L], L + 1, R);
    int against1 = f(stones, sum - stones[L], L + 1, R);

    // R为终点
    int p2 = sum - stones[R] + s(stones, sum - stones[R], L, R - 1);
    int against2 = f(stones, sum - stones[R], L, R - 1);

    if (p1 - against1 > p2 - against2) {
        return p1;
    }
    return p2;
}

// 后手
int s(int* stones, int sum, int L, int R) {
    if (L == R) {
        return 0;
    }

    // 当前的是后手
    // 对手，先手！
    int against1 = sum - stones[L] + s(stones, sum - stones[L], L + 1, R);
    // 当前用户的得分！后手！是对手决定的！
    int get1 = f(stones, sum - stones[L], L + 1, R);

    int against2 = sum - stones[R] + s(stones, sum - stones[R], L, R - 1);
    int get2 = f(stones, sum - stones[R], L, R - 1);

    if (against1 - get1 > against2 - get2) {
        return get1;
    }
    return get2;
}

int stoneGameVII2(int* stones, int stonesSize) {
    int N = stonesSize;
    int** dpf = (int**)malloc(N * sizeof(int*));
    int** dps = (int**)malloc(N * sizeof(int*));
    for (int i = 0; i < N; i++) {
        dpf[i] = (int*)malloc(N * sizeof(int));
        dps[i] = (int*)malloc(N * sizeof(int));
        memset(dpf[i], 0, N * sizeof(int));
        memset(dps[i], 0, N * sizeof(int));
    }
    int* presum = (int*)malloc((N + 1) * sizeof(int));
    memset(presum, 0, (N + 1) * sizeof(int));
    for (int i = 0; i < N; i++) {
        presum[i + 1] = presum[i] + stones[i];
    }
    for (int L = N - 2; L >= 0; L--) {
        for (int R = L + 1; R < N; R++) {
            int sumLR = presum[R + 1] - presum[L];
            int a = sumLR - stones[L] + dps[L + 1][R];
            int b = dpf[L + 1][R];
            int c = sumLR - stones[R] + dps[L][R - 1];
            int d = dpf[L][R - 1];
            dpf[L][R] = (a - b > c - d) ? a - b : c - d;
            dps[L][R] = (b > d) ? b : d;
        }
    }
    int result = abs(dpf[0][N - 1] - dps[0][N - 1]);
    for (int i = 0; i < N; i++) {
        free(dpf[i]);
        free(dps[i]);
    }
    free(presum);
    free(dpf);
    free(dps);
    return result;
}

int dp[1001];

int stoneGameVII3(int* stones, int stonesSize) {
    int n = stonesSize;
    memset(dp, 0, sizeof(dp));
    if (n % 2 == 0) {
        for (int i = 0; i < n; i++) {
            dp[i] = stones[i];
        }
    }
    int alicePick = n % 2 == 0 ? 1 : 0;
    for (int len = 2; len <= n; len++, alicePick = !alicePick) {
        for (int i = 0, j = len - 1; j < n; i++, j++) {
            if (alicePick) {
                dp[i] = dp[i] > dp[i + 1] ? dp[i] : dp[i + 1];
            }
            else {
                int a = dp[i] + stones[j];
                int b = stones[i] + dp[i + 1];
                dp[i] = a < b ? a : b;
            }
        }
    }
    return dp[0];
}

int main() {
    int stones[] = { 5, 3, 1, 4, 2 };
    int stonesSize = sizeof(stones) / sizeof(int);
    printf("stoneGameVII1: %d\n", stoneGameVII1(stones, stonesSize));
    printf("stoneGameVII2: %d\n", stoneGameVII2(stones, stonesSize));
    printf("stoneGameVII3: %d\n", stoneGameVII3(stones, stonesSize));
    return 0;
}

c++完整代码如下：

#include <iostream>
#include <algorithm>
#include <vector>
#include <cstring>

using namespace std;

int f(vector<int>& stones, int sum, int L, int R);
int s(vector<int>& stones, int sum, int L, int R);

int stoneGameVII1(vector<int>& stones) {
    int sum = 0;
    for (int num : stones) {
        sum += num;
    }
    int alice = f(stones, sum, 0, stones.size() - 1);
    int bob = s(stones, sum, 0, stones.size() - 1);
    return abs(alice - bob);
}

// 先手
int f(vector<int>& stones, int sum, int L, int R) {
    if (L == R) { // 只能一块儿了！
        return 0;
    }

    // L为起点
    int p1 = sum - stones[L] + s(stones, sum - stones[L], L + 1, R);
    int against1 = f(stones, sum - stones[L], L + 1, R);

    // R为终点
    int p2 = sum - stones[R] + s(stones, sum - stones[R], L, R - 1);
    int against2 = f(stones, sum - stones[R], L, R - 1);

    if (p1 - against1 > p2 - against2) {
        return p1;
    }
    return p2;
}

// 后手！
int s(vector<int>& stones, int sum, int L, int R) {
    if (L == R) {
        return 0;
    }

    // 当前的是后手
    // 对手，先手！
    int against1 = sum - stones[L] + s(stones, sum - stones[L], L + 1, R);
    // 当前用户的得分！后手！是对手决定的！
    int get1 = f(stones, sum - stones[L], L + 1, R);

    int against2 = sum - stones[R] + s(stones, sum - stones[R], L, R - 1);
    int get2 = f(stones, sum - stones[R], L, R - 1);

    if (against1 - get1 > against2 - get2) {
        return get1;
    }
    return get2;
}

// 动态规划版
int stoneGameVII2(vector<int>& stones) {
    int N = stones.size();
    vector<vector<int>> dpf(N, vector<int>(N, 0));
    vector<vector<int>> dps(N, vector<int>(N, 0));
    vector<int> presum(N + 1, 0);
    for (int i = 0; i < N; i++) {
        presum[i + 1] = presum[i] + stones[i];
    }
    for (int L = N - 2; L >= 0; L--) {
        for (int R = L + 1; R < N; R++) {
            int sumLR = presum[R + 1] - presum[L];
            int a = sumLR - stones[L] + dps[L + 1][R];
            int b = dpf[L + 1][R];
            int c = sumLR - stones[R] + dps[L][R - 1];
            int d = dpf[L][R - 1];
            dpf[L][R] = max(a - b, c - d);
            dps[L][R] = max(b, d);
        }
    }
    return abs(dpf[0][N - 1] - dps[0][N - 1]);
}

// 另一种尝试 + static动态规划表 + 空间压缩 + 尽量优化
// dp[len][i] : 从i出发，当长度为len的情况下，Alice能比Bob多多少分？
// 要注意结算时机！这是这种尝试的核心！
int dp[1001];

// 时间复杂度和刚才讲的一样！
int stoneGameVII3(vector<int>& s) {
    int n = s.size();
    memset(dp, 0, sizeof(dp));
    if (n % 2 == 0) {
        for (int i = 0; i < n; i++) {
            dp[i] = s[i];
        }
    }
    bool alicePick = n % 2 == 0;
    for (int len = 2; len <= n; len++, alicePick = !alicePick) {
        for (int i = 0, j = len - 1; j < n; i++, j++) {
            dp[i] = alicePick ? max(dp[i], dp[i + 1]) : min(dp[i] + s[j], s[i] + dp[i + 1]);
        }
    }
    return dp[0];
}

int main() {
    vector<int> stones = { 5, 3, 1, 4, 2 };
    cout << "stoneGameVII1: " << stoneGameVII1(stones) << endl;
    cout << "stoneGameVII2: " << stoneGameVII2(stones) << endl;
    cout << "stoneGameVII3: " << stoneGameVII3(stones) << endl;
    return 0;
}

本作品采用《CC 协议》，转载必须注明作者和本文链接