Question 3

题目

有一分数序列：2/1，3/2，5/3，8/5，13/8，21/13…求出这个数列的前20项之和

解题思路一

题目分析：

这道题目要求我们计算一个分数序列的前20项之和。

这个分数序列中，每一项的分子是前两项的分子之和，分母是前两项的分母之和。

例如，第三项的分子为2+3=5，分母为1+2=3，因此第三项为5/3。

我们可以使用循环来计算这个分数序列的前20项之和，具体步骤如下：

1. 初始化变量a=2, b=1, sum=0，表示数列的第一项为2/1，累加和为0。

2. 使用循环计算数列的后续19项，每次将a和b更新为下一项的分子和分母，同时将累加和加上这一项的值。

3. 循环结束后，累加和即为数列的前20项之和。

代码实现

a, b = 2, 1
sum = 0

for i in range(20):
    sum += a / b
    a, b = a + b, a

print("前20项之和为:", sum)

解题思路二

题目分析： 给定的数列是斐波那契数列的一个变种，每一项是前两项的和。要求计算该数列的前20项之和。

解题思路：

1. 定义一个递归函数fibonacci(n)，用于计算第n个斐波那契数。

2. 初始化和sum为0。

3. 使用循环从第2项开始遍历到第21项（共20项）。

4. 在循环中，计算第i项和第i-1项的斐波那契数，并将结果累加到和sum中。

5. 最后打印出和sum的值。

代码实现

def fibonacci(n):
    if n <= 2:
        return n
    else:
        return fibonacci(n-1) + fibonacci(n-2)

sum = 0
for i in range(2, 22):
    a = fibonacci(i)
    b = fibonacci(i-1)
    sum += a/b
print(sum)

解题思路三

1. 导入NumPy库。

2. 定义一个2 x 2 的矩阵matrix，其中第一行是[1, 1]，第二行是[1, 0]。

3. 定义一个递归函数matrix_power(n)，用于计算矩阵matrix的n次幂。

-   如果n为0，返回单位矩阵（2 x 2的对角线上元素为1，其余元素为0）。


-   如果n为奇数，将问题转化为计算矩阵`matrix`的(n-1)次幂，然后再与原矩阵相乘。


-   如果n为偶数，将问题转化为计算矩阵`matrix`的n/2次幂，然后再与自身相乘。

4. 初始化和sum为0。

5. 使用循环从第2项开始遍历到第21项（共20项）。

6. 在循环中，通过调用matrix_power(i)计算第i项的矩阵幂，然后将矩阵的第一行第一列的元素除以第二行第一列的元素，并将结果累加到和sum中。

7. 最后打印出和sum的值。

代码实现

import numpy as np

# 定义矩阵
matrix = np.array([[1, 1], [1, 0]])

# 计算矩阵的n次方
def matrix_power(n):
    # 当n为0时，返回单位矩阵
    if n == 0:
        return np.eye(2)  
    # 当n为奇数时，通过递归计算矩阵的(n-1)次方，再与原矩阵相乘
    elif n % 2 == 1:
        return np.dot(matrix_power(n-1), matrix)
    # 当n为偶数时，通过递归计算矩阵的n/2次方，并将得到的矩阵平方
    else:
        temp = matrix_power(n/2)
        return np.dot(temp, temp)

# 计算前20项之和
sum = 0
for i in range(2, 22):
    # 计算斐波那契数列中第i项的值
    fib_matrix = matrix_power(i)
    # 将第i项中第一行第一列的值除以第一行第二列的值，并累加到总和中
    sum += fib_matrix[0, 0] / fib_matrix[1, 0]
print(sum)

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