王者编程大赛算法之二 — 蓄水池

来自我的博客 王者编程大赛之二 — 蓄水池

自如寓打算门口用砖头围立一个蓄水池子,从上面看凹凸不平,凹的地方会有积水。那如果用数字代表每个砖头的高度,就形成一个二维数据(如示例),请问这个池子能存储多少单位的水?

例如二维数组为:

9 9 9 9
3 0 0 9
7 8 2 6
时,答案是中间的 0,0 位置可以存储 2(因为其外面最低是 2)个单位的水,因此答案为 2 + 2 = 4。

示例:
输入:[1 1 1 1,1 0 0 1,1 1 1 1]
输出:2
输入:[12 11 12 0 13,12 9 8 12 12,13 10 0 3 15,19 4 4 7 15,19 4 3 0 15,12 13 10 15 13]
输出:58

解题思路

这道题是所有题中困惑我时间最长的题,一开始思维禁锢在想直接通过找到每块砖的四周有效最低砖高度 $H{min}$,然后这块砖所剩的水为 $w[i][j] = H{min}-h[i][j]$($h[i][j]$ 为砖的高度,i 和 j 为砖的位置坐标),因此蓄水池能蓄下的水为 $\sum{i=1}^n\sum{j=1}^n w[i][j]$。经过一番尝试,发现寻找某块砖四周最低有效砖逻辑比较复杂,且不易理解,又尝试过使用回溯算法寻找出池子中的所有连通图,但是也未有果。

最后,发现基础平台一位同学的实现思路很清晰,我认为他的实现是最合适的,所以研究了一下。该实现中机智地采用逆向思维,[首先往池子注满水(最高砖的高度),然后再通过条件判定每块砖是否需要进行漏水,一直到没有砖需要进行漏水操作]()。

实现思路如下:

  1. 找出高度最高的砖,高度记为 $H_{max}$;
  2. 对除去边界的砖进行注水操作,每块砖加水量为 $w[i][j] = H_{max} - h[i][j]$($h[i][j]$ 为砖的高度);
  3. 对某块砖进行漏水操作,只要这块砖有盛水且上下左右相邻的 4 块砖高度和盛水量之和小于这块砖高度和盛水量之和,则需要进行一次漏水,漏水条件可以描述为 $w[i][j] > 0$ && $h[i][j-1] + w[i][j-1] < h[i][j] + w[i][j]$(该条件为砖左侧相邻的漏水条件,右、上、下同理可得);
  4. 持续漏水操作,一直重复步骤 3 直至没有砖需要进行漏水操作;
  5. 求和砖的盛水量,$\sum{i=1}^n\sum{j=1}^n w[i][j]$ 即为水池的蓄水量;

算法流程图示如下:

编码实现

实现的类结构如下,特殊的方法已提取出,并将一一详细说明。

<?php

class Pool
{
    public $gridArray = array();
    public $maxHeight = 0;
    public $row = 0;
    public $col = 0;

    public function __construct(array $data)
    {
        $this->row = count($data);
        $this->col = count($data[0]);

        foreach ($data as $row => $rowArray) {
            foreach ($rowArray as $col => $height) {
                $height = (int)$height;
                $this->gridArray[$row][$col]['height'] = $height;
                $this->gridArray[$row][$col]['water'] = 0;
                //获取最高砖的高度
                if ($this->maxHeight < $height) {
                    $this->maxHeight = $height;
                }
            }
        }
    }

    //判断是否是水池边界
    public function isBorder($row, $col)
    {
        if ($row == 0
            || $row == $this->row - 1
            || $col == 0
            || $col == $this->col - 1
        ) {
            return true;
        }

        return false;
    }

    public function run()
    {
        $this->addWater();

        while ($this->removeWater()) ;

        return $this->collect();
    }
}

注水操作:

public function addWater()
{
    foreach ($this->gridArray as $row => $rowArray) {
        foreach ($rowArray as $col => $grid) {
            if (!$this->isBorder($row, $col)) {
                $this->gridArray[$row][$col]['water'] = $this->maxHeight - $this->gridArray[$row][$col]['height'];
            }
        }
    }
}

漏水操作:

public function removeWater()
{
    foreach ($this->gridArray as $row => $rowArray) {
        foreach ($rowArray as $col => $grid) {
            if ($this->canRemove($row, $col)) {
                return true;
            }
        }
    }

    return false;
}

漏水条件实现如下:

public function canRemove($row, $col)
{
    $can = false;

    if ($this->gridArray[$row][$col]['water'] > 0) {
        //上
        if ($this->gridArray[$row][$col]['water'] + $this->gridArray[$row][$col]['height'] >
            $this->gridArray[$row - 1][$col]['water'] + $this->gridArray[$row - 1][$col]['height']) {
            $this->gridArray[$row][$col]['water'] =
                $this->gridArray[$row - 1][$col]['water'] + $this->gridArray[$row - 1][$col]['height']
                - $this->gridArray[$row][$col]['height'];
            if ($this->gridArray[$row][$col]['water'] < 0) {
                $this->gridArray[$row][$col]['water'] = 0;
            }
            $can = true;
        }
        //右
        if ($this->gridArray[$row][$col]['water'] + $this->gridArray[$row][$col]['height'] >
            $this->gridArray[$row][$col + 1]['water'] + $this->gridArray[$row][$col + 1]['height']) {
            $this->gridArray[$row][$col]['water'] =
                $this->gridArray[$row][$col + 1]['water'] + $this->gridArray[$row][$col + 1]['height']
                - $this->gridArray[$row][$col]['height'];
            if ($this->gridArray[$row][$col]['water'] < 0) {
                $this->gridArray[$row][$col]['water'] = 0;
            }
            $can = true;
        }
        //下
        if ($this->gridArray[$row][$col]['water'] + $this->gridArray[$row][$col]['height'] >
            $this->gridArray[$row + 1][$col]['water'] + $this->gridArray[$row + 1][$col]['height']) {
            $this->gridArray[$row][$col]['water'] =
                $this->gridArray[$row + 1][$col]['water'] + $this->gridArray[$row + 1][$col]['height']
                - $this->gridArray[$row][$col]['height'];
            if ($this->gridArray[$row][$col]['water'] < 0) {
                $this->gridArray[$row][$col]['water'] = 0;
            }
            $can = true;
        }
        //左
        if ($this->gridArray[$row][$col]['water'] + $this->gridArray[$row][$col]['height'] >
            $this->gridArray[$row][$col - 1]['water'] + $this->gridArray[$row][$col - 1]['height']) {
            $this->gridArray[$row][$col]['water'] =
                $this->gridArray[$row][$col - 1]['water'] + $this->gridArray[$row][$col - 1]['height']
                - $this->gridArray[$row][$col]['height'];
            if ($this->gridArray[$row][$col]['water'] < 0) {
                $this->gridArray[$row][$col]['water'] = 0;
            }
            $can = true;
        }
    }

    return $can;
}

持续漏水操作:

public function run()
{
    while ($this->removeWater()) ;
}

求和砖的盛水量:

public function collect()
{
    $sum = 0;
    foreach ($this->gridArray as $row => $rowArray) {
        foreach ($rowArray as $col => $grid) {
            $sum += $grid['water'];
        }
    }

    return $sum;
}

接收标准输入处理并输出结果:

$filter = function ($value) {
    return explode(' ', $value);
};

$pool = new Pool(array_map($filter, explode(',', $input)));
echo $pool->run(), PHP_EOL;

相似题目

Twitter 之前曾经出过类似蓄水池的笔试题,只不过本题是立体水池(二维数组),Twitter 蓄水池笔试题是平面水池(一维数组),解题复杂度也就降低了,当然 Twitter 蓄水池笔试题也可以采用本题的思想来实现,但是时间复杂度为 $O(n^2)$,采用 我的Twitter技术面试失败了 的实现时间复杂度为 $O(n)$。

实现思路如下:

  1. 首先,用两个指针(left 和 right)分别指向数组的第一个元素和最后一个元素,左指针从左向右遍历,右指针从右向左遍历;
  2. 初始化数组中一个元素(a[0])为左边遍历得到的最大值(max_left),最后一个元素(a[a.length-1])为从右边遍历得到的最大值(max_right);
  3. 开始遍历,遍历结束条件为 [左指针不小于右指针]();
  4. 如果左边遍历的最大值小于右边遍历的最大值,说明只要有水沟(即小于左边最大值 max_left 的元素)就会有积水,因为右边的最大值可以保证左边水沟的积水不会流失掉;同样,如果左边遍历的最大值不小于右边遍历的最大值,只要右边有水沟(即小于右边最大值 max_right 的元素)就会有积水;

具体实现,请直接参考 CuGBabyBeaR 文章。

总结

本题的蓄水池问题,如果理解了问题本质并逆向思维,将寻找某块砖四周最低有效砖高度(寻找有效砖涉及到边界扩散)转化为判断某块砖是否需要漏水条件,那么问题就简化很多了,那后续编码也就很容易实现了,本文算法的时间复杂度为 $O(n^3)$。

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