问答 / 0 / 1 / 创建于 4年前
∫−∞+∞x4dx(2+3x2)4\displaystyle \int_{-\infty}^{+\infty}\frac{x^4dx}{(2+3x^2)^4}∫−∞+∞(2+3x2)4x4dx
f(z)=z4(2+3z2)4\displaystyle f(z)=\frac{z^4}{(2+3z^2)^4}f(z)=(2+3z2)4z4
在上半平面内只有
z=23i\displaystyle z=\sqrt{\frac{2}{3}}iz=32i
一个四阶极点。
23i=a, z−a=t⇒z=a+tf(z)=z4(2+3z2)4=z434(z−a)4(z+a)4=(t+a)434t4(t+2a)4=134t4⋅a4+4a3t+6a2t2+4at3+t416a4+32a3t+24a2t2+8at3+t4=134t4(116+t8a+t232a2−t332a3+⋯ )⇒Resz=af(z)=−134⋅32a3⇒Resz=23if(z)=−134⋅32(23i)3=−i3223⋅35=−i5766⇒∫−∞+∞x4(2+3x2)4dx=2πi⋅−i5766=π2886\displaystyle \sqrt{\frac{2}{3}}i=a,\ \ z-a=t\Rightarrow z=a+t\\{}\\ f(z)=\frac{z^4}{(2+3z^2)^4}=\frac{z^4}{3^4(z-a)^4(z+a)^4}\\{}\\ =\frac{(t+a)^4}{3^4t^4(t+2a)^4}\\{}\\ =\frac{1}{3^4t^4}\cdot\frac{a^4+4a^3t+6a^2t^2+4at^3+t^4}{16a^4+32a^3t+24a^2t^2+8at^3+t^4}\\{}\\ =\frac{1}{3^4t^4}\left(\frac{1}{16}+\frac{t}{8a}+\frac{t^2}{32a^2}-\frac{t^3}{32a^3}+\cdots\right)\\{}\\ \Rightarrow\mathop{\mathrm{Res}}\limits_{z=a}f(z)=-\frac{1}{3^4\cdot32a^3}\\{}\\ \Rightarrow\mathop{\mathrm{Res}}\limits_{z=\sqrt{\frac{2}{3}}i}f(z)=-\frac{1}{3^4\cdot32\left(\sqrt{\frac{2}{3}}i\right)^3}\\{}\\ =\frac{-i}{32\sqrt{2^3\cdot3^5}}=\frac{-i}{576\sqrt{6}}\\{}\\ \Rightarrow\int_{-\infty}^{+\infty}\frac{x^4}{(2+3x^2)^4}dx=2\pi i\cdot\frac{-i}{576\sqrt{6}}=\frac{\pi}{288\sqrt{6}}32i=a, z−a=t⇒z=a+tf(z)=(2+3z2)4z4=34(z−a)4(z+a)4z4=34t4(t+2a)4(t+a)4=34t41⋅16a4+32a3t+24a2t2+8at3+t4a4+4a3t+6a2t2+4at3+t4=34t41(161+8at+32a2t2−32a3t3+⋯)⇒z=aResf(z)=−34⋅32a31⇒z=32iResf(z)=−34⋅32(32i)31=3223⋅35−i=5766−i⇒∫−∞+∞(2+3x2)4x4dx=2πi⋅5766−i=2886π
我要举报该,理由是:
f(z)=(2+3z2)4z4
在上半平面内只有
z=32i
一个四阶极点。
32i=a, z−a=t⇒z=a+tf(z)=(2+3z2)4z4=34(z−a)4(z+a)4z4=34t4(t+2a)4(t+a)4=34t41⋅16a4+32a3t+24a2t2+8at3+t4a4+4a3t+6a2t2+4at3+t4=34t41(161+8at+32a2t2−32a3t3+⋯)⇒z=aResf(z)=−34⋅32a31⇒z=32iResf(z)=−34⋅32(32i)31=3223⋅35−i=5766−i⇒∫−∞+∞(2+3x2)4x4dx=2πi⋅5766−i=2886π