设函数f(x)和g(x)在[a,b]上可积，则
\displaystyle \left[\displaystyle \int_{a}^{b}f(x)g(x)dx\right]^2 \leqslant \int_{a}^{b}f^2(x)dx\cdot \int_{a}^{b}g^2(x)dx
\displaystyle \left[\int_a^bf(x)g(x)dx\right]^2=\int_a^bf(x)g(x)dx\cdot\int_a^bf(y)g(y)dy\\{}\\ =\iint\limits_{a\leqslant x\leqslant b;a\leqslant y\leqslant b}[f(x)g(x)\cdot f(y)g(y)]dxdy\\{}\\ \because[f(x)g(y)]\cdot[f(y)g(x)]\leqslant\frac{1}{2}[f^2(x)g^2{y}+f^2(y)g^2(x)]\\{}\\ \therefore \left[\int_a^bf(x)g(x)dx\right]^2\leqslant \iint\limits_{a\leqslant x\leqslant b;a\leqslant y\leqslant b}\frac{1}{2}[f^2(x)g^2{y}+f^2(y)g^2(x)]dxdy\\{}\\ =\frac{1}{2}\iint\limits_{a\leqslant x\leqslant b;a\leqslant y\leqslant b}f^2(x)g^2(y)+\frac{1}{2}\iint\limits_{a\leqslant x\leqslant b;a\leqslant y\leqslant b}f^2(y)g^2(x)dxdy\\{}\\ =\iint\limits_{a\leqslant x\leqslant b;a\leqslant y\leqslant b}f^2(x)g^2(y)dxdy\\{}\\ =\int_a^bf^2(x)dx\int_a^bg^2(y)dy\\{}\\ =\int_a^bf^2(x)dx\int_a^bg^2(x)dx
\displaystyle \left[\int_a^bf(x)g(x)dx\right]^2=\int_a^bf(x)g(x)dx\cdot\int_a^bf(y)g(y)dy\\{}\\ =\iint\limits_{a\leqslant x\leqslant b;a\leqslant y\leqslant b}[f(x)g(x)\cdot f(y)g(y)]dxdy\\{}\\ \because[f(x)g(y)]\cdot[f(y)g(x)]\leqslant\frac{1}{2}[f^2(x)g^2{y}+f^2(y)g^2(x)]\\{}\\ \therefore \left[\int_a^bf(x)g(x)dx\right]^2\leqslant \iint\limits_{a\leqslant x\leqslant b;a\leqslant y\leqslant b}\frac{1}{2}[f^2(x)g^2{y}+f^2(y)g^2(x)]dxdy\\{}\\ =\frac{1}{2}\iint\limits_{a\leqslant x\leqslant b;a\leqslant y\leqslant b}f^2(x)g^2(y)+\frac{1}{2}\iint\limits_{a\leqslant x\leqslant b;a\leqslant y\leqslant b}f^2(y)g^2(x)dxdy\\{}\\ =\iint\limits_{a\leqslant x\leqslant b;a\leqslant y\leqslant b}f^2(x)g^2(y)dxdy\\{}\\ =\int_a^bf^2(x)dx\int_a^bg^2(y)dy\\{}\\ =\int_a^bf^2(x)dx\int_a^bg^2(x)dx
粤ICP备18099781号-6
|
粤公网安备 44030502004330号
|
违法和不良信息举报
由 Summer 设计和编码 ❤
请登录
关于 LearnKu
推荐文章：