整数环

整数环Z_m由以下两部分组成:

1.集合Z_m = ( 0,1,2,…,m )
2.两种操作 “ + ” 和 “ x ” ,使得对所有的a, b\in Z_m 有:

a + b\equiv c\ mod\ m, (c\in Z_m)\\ a\times b\equiv d\ mod\ m, (d\in Z_m)

环的重点特性

  • 如果环内任何两个数相加或相乘得到的结果始终在环内,那么这个环就是封闭的。
  • 加法和乘法是可结合的,

例如对所有的a,b,c\in Z_m, 都有$$a + ( b + c ) = ( a + b )+ c 和 a·( b·c ) = ( a·b )·c

  • 加法中存在中性元素 0 ,

使得对每个a\in Z_m都有a + 0\equiv a\ mod\ m

  • 环中的任何元素 a 都存在一个负元素 -a ,

使得 a + ( -a )\equiv 0\ mod\ m , 即加法逆元始终存在。

  • 乘法中存在中性元素 1 ,

即对每个a\in Z_m, 都有 a\times 1\equiv a\ mod\ m

  • 不是所有元素都存在乘法逆元。

假设a\in Z, 乘法逆元a^{-1}可以定义为:
a·a^{-1}\equiv 1\ mod\ m
如果元素 a 的乘法逆元存在,则可以除以这个元素,因为b/a\equiv b·a^{-1}\ mod\ m

  • 找出某个元素的逆元比较困难(通常使用欧几里得算法),但可以通过一种简单方法来判断一个给定元素 a 的逆元是否存在:

当且仅当 gcd(a, m) = 1, 一个元素a\in Z 存在乘法逆元a^{-1}。其中 gcd 表示最大公约数 ( Greatest Common divisior ), 即同时能除 a 和 m 的最大整数。在数论中,两个数的最大公约数是 1 有着非常重要的意义,并且拥有专门的称谓,即:gcd(a, m) = 1, 那么 a 和 m 就被称作是互素(互为素数)或互质。

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