第一章：勾股数组（2）

勾股数组定理#

勾股数组定理：每个本原勾股数组（a，b，c）（其中 a 为奇数，b 为偶数），都可以从如下公式得出：

$a = st\\ b = \frac{s^2-t^2}{2}\\ c = \frac{s^2 + t^2}{2}$

其中$s>t\geq 1$ 是任意没有公因数的奇数。
证明过程如下：
考虑 a，b 的互换性，我们的问题化为求解方程

$a^2 + b^2 = c^2, a 是奇数，b 是偶数，a, b, c 没有公因数$

的所有自然数解，我们使用的工具是因式分解和整除性。
如果（a，b，c）是本原勾股数组，则可进行因数分解

$a^2 = c^2 - b^2 = (c - b)(c + b)$

下面一些例子，注意我们总是取 a 是奇数且 b 偶数：

$3^2 = 5^2 - 4^2 = (5 - 4)(5 + 4) = 1·9\\ 15^2 = 17^2 - 8^2 = (17- 8)(17 + 8) = 9·25\\ 35^2 = 37^2 - 12^2 = (37 -12)(37 + 12) = 25·49\\ 33^2 = 65^2 - 56^2 = (65 - 56)(65 + 56) = 9·121$

似乎$c - b$ 与$c + b$ 本身总是平方数。
由前面的列表观察可得，$c -b$ 与$c + b$ 似乎没有公因数。
我们可以证明这个断言：假设正整数$d$ 是$c-b$ 与$c + b$ 的公因数，即$d$ 整除$c-b$ 与$c+b$。则 d 也整除$(c + b) + (c - b) = 2c$ 与$(c + b) - (c - b) = 2b$
因此 d 整除 2b 与 2c，但是 b 与 c 没有公因数，这是因为我们假设了（a，b，c) 是本原勾股数组，从而 d 必等于 1 或 2 。但 d 也整除$（c - b)(c + b) = a^2$ 且$a$ 是奇数，故 d 必等于 1。换句话说，整除$c - b$ 与$c + b$ 的数只能是$1$，所以$c - b$ 与$c + b$ 没有公因数。
现在我们知道$c - b$ 与$c + b$ 没有公因数而且由于$(c-b)(c+b) = a^2$，所以$c-b$ 与$c + b$ 的积是平方数。这种情况只有在$c-b$ 与$c + b$ 自身都是平方数时才出现，记

$c + b = s^2 c - b = t^2$

其中$s>t\geq 1$ 是没有公因数的奇数。解上面这两个方程得

$c = \frac{s^2 + t^2}{2}\\ b = \frac{s^2 + t^2}{2}\\ a = \sqrt{(c - b)(c + b)} = st$

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