第三章：勾股数组与单位圆

我们描述了a^2 + b^2 = c^2的所有整数解a，b，c，如果用c^2除以这个方程得

(\frac{a}{c})^2 + (\frac{b}{c})^2 = 1

所以有理数对(\frac{a}{c},\frac{b}{c})是方程x^2 + y^2 = 1的解
方程x^2 + y^2 = 1代表中心在（0，0）半径为 1 的圆 C。

如何从集合角度来求圆 C 上 x 坐标与 y 坐标都是有理数的点

圆上有 4 个明显的具有有理数坐标的点：（1，0），（-1，0），（0，1），（0，-1）
假设我们取任意（有理）数 m，观察过点（-1，0）斜率为 m 的直线 L ，直线 L 方程：y = m(x + 1),C 与 L 的交集由两个点组成，其中一个是（-1，0），我们来求另一个。
为求 C 与 L 的交集，需要解关于 x 与 y 的方程组

x^2 + y^2 = 1\\ y = m(x +1)

将第二个方程代入第一个方程并化简得到

(m^2 + 1)x^2 + 2m^2x + (m^2 - 1) = 0

可用二次方程求根公式求得x。但是，有一种更容易的解方程的方法。由于（-1，0）在 C 与 L 上，所以x = -1必是一个解。因此可用x + 1除以二次多项式来求另一个根。所以，另一个根是方程(m^2 + 1)x + (m^2-1) = 0的解，这意味着

x = \frac{1 - m^2}{1 + m^2}

将 x 的值带到直线 L 的方程y=m(x+1)来求y坐标：

y = m(x +1) = m(\frac{1-m^2}{1+m^2}+1) = \frac{2m}{1 + m^2}

这样对每个有理数m得到方程x^2 + y^2 = 1的一个有理数解(\frac{1-m^2}{1+m^2},\frac{2m}{1 + m^2})(即圆上所有有理数解的公式)
圆上的有理数公式如何与勾股数组联系起来呢 ？如果将有理数m写成分数\frac{v}{u}，则公式变成

(x,y) = (\frac{u^2-v^2}{u^2-v^2},\frac{2uv}{u^2 + v^2})

消去分母就给出勾股数组

(a,b,c) = (u^2-v^2,2uv,u^2+v^2)

本作品采用《CC 协议》，转载必须注明作者和本文链接