点积

前言#

之前在 单变量微积分 中已经了解了两大运算，分别是微分和积分，在多变量微积分中，也是围绕这两大运算展开。只不过研究的对象不再是$f(x)$ 这样的只有一个自变量的函数，而是会研究$f(x,y,z,\cdots)$ 这样的多元函数，不过在本文档中，会着重说明两个变量的情况，可以拓展到三个变量，四个变量，$n$ 个变量，为了学习的方便，从两个变量入手最合适不过了。因为这样可以进行三维坐标系的可视化。在多变量微积分中，微分运算研究的是偏导数，积分运算研究的是多重积分。

向量#

在正式进入微积分运算之前，应该先了解一点矩阵知识，如果是学过「线性代数」最好不过了，但是没学过也没关系，多变量微积分的知识里面，只需了解一些简单的矩阵知识即可，线性代数这门学科可以后面再着重攻破。
首先看图：

上图向量空间中的红线是一个向量，这个向量叫做$\vec{A}$，称作 “向量 A”。
给这个$\vec{A}$ 加上绝对值符号变成为了一个标量，标量代表的是向量的模长，就是一个数字。所以我们这里有向量$\vec{A}$，以及向量的长度$|\vec{A}|$。向量的长度很好理解，就一个数字而已，向量呢？其实向量代表的是每个变量的刻度，上图中$\vec{A}=\langle3,2,1\rangle$，其中$3$ 明显就是$x$ 轴的刻度，$2$ 就是$y$ 轴的刻度，$1$ 就是$z$ 轴的刻度。每一个变量都会用一个轴来代表，如果一个函数有八个变量，那这张图就需要八个轴，就很难画出来了，八个变量的函数表示的数学模型是一个八维空间。我们在这里只画了三维空间图。

注意⚠️：别搞错了，这里可不是函数图，函数图形表示的是函数和自变量的关系，但这图只是为了解释向量的概念而作出的图形化理解。所以有三个变量表示的三个方向的三维向量空间图。这个图完全没有展现函数$f(x,y,z)$ 中$f$ 与$x,y,z$ 的关系。如果需要展现这样的函数与变量的关系，就需要四维坐标系了。三个轴做变量，一个轴做函数的值。
这里用二元函数$f(x,y)$ 举个例子，这个二元函数的函数关系图长这个样子：

其中红色阴影部分是一个平面，是一个二维的空间，只有两个方向，但给出了一个纵轴是做函数$f$ 的值的。所以以后在看图的时候一定要注意这个图代表的是否是函数图。

回到上面的话题，接着介绍一下向量和向量的长度的计算方法，向量计算公式：

$\displaystyle \vec{A}=a_1\hat{i}+a_2\hat{j}+a_3\hat{k}=\langle a_1,a_2,a_3\rangle$

其中$\hat{i}、\hat{j}、\hat{k}$ 代表的是方向，分别是$x$ 轴的方向，$y$ 轴的方向，$z$ 轴的方向。仅仅是方向符号。还是那句话，有多少个变量就有多少个方向。也可以说有多少个未知数就有多少个方向。$a_1、a_2、a_3$ 代表的是每个方向的刻度，也就是每个变量的值。
向量的模长计算公式：

$\displaystyle |\vec{A}|=\sqrt{a_1^2+a_2^2+a_3^2}$

这个可以用勾股定理的思想来理解，向量的模长等于所有变量的平方和的算术平方根。
向量的方向可以用一个数学符号代表，比如$\vec{A}$ 的方向用$\mathrm{dir}(\vec{A})$ 来表示。
向量的表示方法也可以用两个点来表示向量：

向量之和#

我们习惯的看到什么什么之和这样的名词，就会想到答案会是一个数字，数字是一个标量，两个向量相加得到的还是一个向量，这个一定要切记。
看图：

$\displaystyle \vec{A}=\langle a_1,a_2,a_3\rangle\\{}\\ \vec{B}=\langle b_1,b_2,b_3\rangle\\{}\\ \vec{A}+\vec{B}=\langle a_1+b_1,a_2+b_2,a_3+b_3\rangle$

向量点积（也叫做内积）#

给向量一个乘法系数：

点积定义：

$\displaystyle \vec{A}\cdot\vec{B}=\sum a_ib_i=a_1b_1+a_2b_2+a_3b_3$

点积是两个向量相乘的一种方法，得到的是一个标量。

也就是说点积是两个向量所有对应变量的积和。

点积也可以通过另一个公式得出：

$\displaystyle \vec{A}\cdot\vec{B}=|\vec{A}||\vec{B}|\cos\theta$

因为$\cos0=1$，可以看出：

$\displaystyle \vec{A}\cdot\vec{A}=|\vec{A}|^2\cos0=a_1^2+a_2^2+a_3^2$

来看下余弦定理：

$\displaystyle \vec{C}=\vec{A}-\vec{B}\\{}\\ |\vec{C}|^2=|\vec{A}|^2+|\vec{B}|^2-2|\vec{A}||\vec{B}|\cos\theta$

点乘证明：

$\displaystyle |\vec{C}|^2=\vec{C}\cdot\vec{C}=(\vec{A}-\vec{B})\cdot(\vec{A}-\vec{B})\\{}\\ =\vec{A}\cdot\vec{A}-\vec{A}\cdot\vec{B}-\vec{B}\cdot\vec{A}+\vec{B}\cdot\vec{B}\\{}\\ =|\vec{A}|^2+|\vec{B}|^2-2\vec{A}\cdot\vec{B}$

点积应用#

计算长度和角度：

上图中有些人会对$\langle-1,1,0\rangle\cdot\langle-1,0,2\rangle$ 有疑问，因为这里得出来的是向量的值，这个向量是怎么得到的呢？
我们就看$\vec{PQ}$ 的值$\langle-1,1,0\rangle$，意思是通过这个向量，能从$P$ 点到$Q$ 点，所以是由$Q$ 点的坐标$(q_1,q_2,q_3)$ 减去$P$ 点的坐标$(p_1,p_2,p_3)$ 得出的。所以$\langle0-1,1-0,0-0\rangle=\langle-1,1,0\rangle$。
可以得出一个重要的公式：

$\displaystyle \cos\theta=\frac{\vec{A}\cdot\vec{B}}{|\vec{A}||\vec{B}|}$

可以通过$\vec{A}\cdot\vec{B}$ 的值来判断$\theta$ 的角度是直角还是锐角还是钝角：

向量正交性#

两个向量正交意味着它们是相互垂直的：

$\displaystyle \vec{A}\cdot\vec{B}=0\Leftrightarrow\cos\theta=0\Leftrightarrow\theta=90\degree\Leftrightarrow\vec{A}\perp\vec{B}$