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协同过滤

假设有以下用户评分表:

其中，每一行代表一个用户, 每一列代表一个产品，每一个元素代表某用户对于某产品的评分。 设用户 u_i 的评分向量为 v_i , 协同过滤的想法是，以两个评分向量的夹角的余弦代表两个用户 之间的相似度:

其中 e_i 代表向量 v_i 的单位向量。 那么，对于每一行表示一个用户的评分矩阵 A, 按行对其做单位化处理得到新矩阵 B , 协方差矩阵 C = BB' (B' 表示 B 的转置，这里上标 T 始终不能正常显示) 就是用户 的相似度矩阵， C 具有以下特征:

C_ij 代表用户 i 和用户 j 的相似度。 接下来，求与用户 i 相似度最高的若干用户，然后通过这些用户的评分情况向用户 i 推荐产品。

代码实现

构造评分矩阵

实际上，让用户对产品评分，是不容易实现的，可以通过历史记录，构造评分矩阵。 本次实验环境中，存在用户行为记录表 (user_actions)

这里不去关注"搜索"(action=search)行为, 取出浏览和购买的行，因为"浏览"和"购买"的比例大概是 50:1 , 所以，浏览一次记 1 分，购买一次记 50 分。 另外，显然还存在用户表和产品表，以下只用到它们的 id, 表结构无所谓。

首先，获取参与计算的用户 id 和产品 id, 因为 id 可能是不连续的，将它们的索引和 id 之间的映射记录下来， 方便后续计算。因为是以用户为基础的，只读取有历史记录的用户，而产品是从产品表中读取，也就是说在此查询执行之后有交互行为 的新用户不会参与计算，而老用户的行为仍会参与计算。 考虑内存限制，将用户分为几块处理，只计算一个块内用户彼此的相似度，推荐也只会在一个块内的用户间产生,代码如下 :

// 取在 users 和 user_actions 中都存在的 user_id
$users = UserAction::select("user_id")->distinct()
    ->join("users", "user_actions.user_id", "=", "users.id")
    ->orderBy("user_id")
    ->get();

// 用户 id
foreach ($users as $u) {
    $ui[] = $u->user_id;
}
// 用户索引
$iu = array_flip($ui);

$products = Product::select("id")->distinct()->orderBy("id")->get();
// 产品 id
foreach ($products as $p) {
    $pi[] = $p->id;
}
// 产品索引
$ip = array_flip($pi);

// 分块
$k = $this->getChunks();
// 每一块的最大数量
$kn = intval(ceil(count($ui) / $k));
$map = [
    "users" => $ui,
    "indexOfUsers" => $iu,
    "products" => $pi,
    "indexOfProducts" => $ip,
    "chunks" => $k,
    "numberPerChunk" => $kn,
];

用户分块，设定每块最多用户数，计算块数应该更合理

函数 getRatingByUser(int $id) 实现从数据库中读一个用户的评分向量, 其中 zerosArray(int $n) 的作用是返回一个长度为 $n 值全为 0 的数组:

// 点击和购买的比例接近 50 : 1
protected $caseSql = "CASE `action` WHEN 'view' THEN 1 WHEN 'buy' THEN 50 ELSE 0 END AS `score`";
/**
 * 获取一个用户对于每一个产品的评分，得到评分向量
 * @var int $id user id
 * @var array  $ratingArr user rating vector
 * @return array
 */
public function getRatingByUser(int $id) : array
{
    $map = $this->getMap();

    $userActions = UserAction::select("product_id", DB::raw($this->caseSql))
    ->where("user_id", "=", $id)
    ->whereIn("product_id", $map["products"]) // 过滤掉只存在于 user_actions 中的 product_id
    ->where(function ($query) {
        $query->where("action", "=", "view")
        ->orWhere("action", "=", "buy");
    })
    ->orderBy("product_id")
    ->get();

    $ratingArray = $this->zerosArray(count($map["products"]));
    foreach ($userActions as $ua) {
    $index = $map["indexOfProducts"][$ua->product_id];
    $ratingArray[$index] += $ua->score;
    }
    return $ratingArray;
}

循环调用 getRatingByUser(int $id) 得到评分矩阵, 如下:

通过评分矩阵，可以得到一些有用的信息：

1. 矩阵按行求和，代表用户的活跃度，图中高亮的行所对应的用户，明显比其他的活跃
2. 矩阵按列求和，代表产品的活跃度，图中第一个产品，明显比第二个产品活跃
3. 矩阵先按行单位化后按列求和，值越大说明该列对应的产品受越多的用户关注
4. 每一行数据分布情况反应了这一个用户的偏好

考虑到评分矩阵可能被其他程序使用，在保存的时候，不分块，本实现通过指针处理这个文件，不会造成性能问题。

计算相似度

PHP 实现

getSimilarityMatrix(void) 通过评分矩阵计算相似度(协方差)矩阵。 向量运算使用了 math-php 库, 因为 math-php 只能以列向量构建矩阵， 所以由 B'B 计算协方差。 EPSILON = 1e-9 , 将长度小于 EPSILION 的向量视为 0 :

/**
 * 得到用户评分向量相似度矩阵
 * 考虑内存限制，将用户分成 $k 组, 求协方差
 * 如果初始化类传入存储位置, 则保存数据到文件
 * 生成当前进度
 * test:
 *     cache, chunk=1: 60s
 * @yield array
 * @return Generator
 */
public function getSimilarityMatrix() : Generator
{
    $k = $this->getChunks();
    $dir = $this->getDataDir();
    $users = $this->getMap()["users"];
    $urKey = $this->getCacheKey("user_rating");
    $smKey = $this->getCacheKey("sim_mat");
    $nk = intval(ceil(count($users) / $k));
    if ($dir) {
    $file = $dir . DIRECTORY_SEPARATOR . $urKey . ".csv";
    $isBig = filesize($file) > static::MAX_FILE_SIZE;
    // 大文件按行读, 否则直接读入数组
    if ($isBig) {
        $urCsv = fopen($file, "r");
    } else {
        $urCsv = file($file, FILE_IGNORE_NEW_LINES);
    }
    }

    for ($i = 0; $i < $k; $i++) {
    $vs = [];
    if ($i + 1 < $k) {
        $chunk = $nk;
    } else {
        $chunk = count($users) - $nk * $i;
    }
    for ($j = 0; $j < $chunk; $j++) {
        $index = $i * $nk + $j;
        if ($dir) {
        if ($isBig) {
            $arr = str_getcsv(fgets($urCsv));
        } else {
            $arr = str_getcsv($urCsv[$index]);
        }
        } else {
        $arr = Cache::get("$urKey.{$users[$index]}");
        }
        // 单位化处理
        $v = new Vector($arr);
        $v = $v->length() < static::EPSILON ? $v : $v->normalize();
        $vs[] = $v;
    }

    // 计算协方差
    $M = MatrixFactory::create($vs);
    $covMatrix = $M->transpose()->multiply($M);
    $covArray = $covMatrix->getMatrix();

    // 保存数据
    if ($dir) {
        $file = $dir . DIRECTORY_SEPARATOR . "$smKey.$i.csv";
        $smCsv = fopen($file, "w");
        foreach ($covArray as $row) {
        fputcsv($smCsv, $row);
        }
        fclose($smCsv);
    } else {
        Cache::forever("$smKey.$i", $covArray);
    }
    yield [$i + 1, $k];
    }
    if ($dir && $isBig) {
    fclose($urCsv);
    }
}

执行该函数,本次测试耗时 76 秒:

xl@xl:~/apps/blog$ ./artisan tinker
Psy Shell v0.9.9 (PHP 7.2.10 — cli) by Justin Hileman
>>> $rs = new App\Tools\RecommenderSystem(1, storage_path('rsdata'))
=> App\Tools\RecommenderSystem {#2906}
>>> $start = time(); foreach ($rs->getSimilarityMatrix() as $arr){}; $end = time(); echo $end-$start;
76⏎

math-php 的效率

math-php 是未经线性代数优化的库，查看源代码可知，计算矩阵乘法的时间复杂度为 O(n^3) 。 而线性代数优化过的库，在一定规模内(视硬件性能)矩阵操作的时间复杂度可以视为 O(1) 。 实验环境下, 计算 1000 阶矩阵乘法, math-php 效率为 IntelMTK 的 1 / 10000, NumPy 的 1/1000 .

PYTHON 实现

下面是一个简单的 python 实现, 使用了 sklearn.preprocessing.normalize 和 NumPy 库。

#!/usr/bin/env python3
# -*- coding: utf-8 -*-

from sklearn.preprocessing import normalize
import numpy as np

# 载入数据
A = np.loadtxt('rs.user_rating.csv', delimiter=',')
# 按行单位化
B = normalize(A, norm='l2', axis=1)
# 求协方差
C = B @ B.transpose()
# 保存数据
np.savetxt('covmat.csv', C)

执行效果:

xl@xl:~/apps/blog/storage/rsdata$ ls -lh
total 14M
-rw-rw-r-- 1 xl xl  313 Nov 17 12:44 covMat.py
-rw-rw-r-- 1 xl xl  35K Nov 17 12:51 rs.map.json
-rw-rw-r-- 1 xl xl  13M Nov 17 12:53 rs.sim_mat.0.csv
-rw-rw-r-- 1 xl xl 632K Nov 16 19:44 rs.user_rating.csv
xl@xl:~/apps/blog/storage/rsdata$ time python3 covMat.py 

real    0m2.206s
user    0m2.315s
sys 0m0.660s
xl@xl:~/apps/blog/storage/rsdata$ ls -lh
total 119M
-rw-rw-r-- 1 xl xl 106M Nov 17 13:03 covmat.csv
-rw-rw-r-- 1 xl xl  313 Nov 17 12:44 covMat.py
-rw-rw-r-- 1 xl xl  35K Nov 17 12:51 rs.map.json
-rw-rw-r-- 1 xl xl  13M Nov 17 12:53 rs.sim_mat.0.csv
-rw-rw-r-- 1 xl xl 632K Nov 16 19:44 rs.user_rating.csv

因为 numpy 使用了更高的精度，矩阵文件 ( covmat.csv ) 比php生成 ( rs.sim_mat.0.csv ) 的大很多，本次测试耗时 2 秒，可以看到，效率提升是很明显的。

最后，得到协方差矩阵如下:

可以看到，矩阵是关于对角线对称的，且在对角线上为最大值 1.

实际上，评分矩阵可能是非常稀疏的，可以使用 scipy.sparse 处理。

投票推荐

协方差矩阵中的第 i 行对应用户 i 和其他用户的相似度。 userLikes($uid, $n) 找出和用户 $uid 最相似的 $n 个用户, 其中 getSimVecByUser($uid) 实现取出行向量, userIdToLocation($id) 实现根据用户 id 找到数据位置:

/**
 * 计算和用户 $uid 相似度最高的 $n 个用户, 返回由用户 id 组成的数组
 * @var int $uid user's id
 * @var int $n number of user
 * @return array
 */
public function userLikes($uid, $n = 10) : array
{
    $likes = [];
    $map = $this->getMap();
    $users = $map["users"];
    $kn = $map["numberPerChunk"];
    // 获取相似度向量
    $vec = $this->getSimVecByUser($uid);
    if (!$vec) {
    return [];
    }
    // 逆排序
    arsort($vec);
    // 前 $n 个索引
    $topNI = array_slice(array_keys($vec), 0, $n);
    // 索引转 id
    $location = $this->userIdToLocation($uid);
    $i = $location[0];
    foreach ($topNI as $j) {
    $likes[] = $users[$i * $kn + $j];
    }

    return $likes;
}

python 实现:

# 协方差矩阵按行逆向排序，返回索引
U = np.argsort(-C, axis=1)

接着, getUserFavouriteProducts(int $id, int $n) 实现从评分矩阵中找到 用户 $id 评分最高 的 $n 个产品:

/**
 * 得到用户 $id 评分最高的 $n 个产品, 返回产品 id 数组
 * @var int $id user's id
 * @var int $n number of products
 * @return array
 */
public function getUserFavouriteProducts(int $id, int $n = 10) : array
{
    $dir = $this->getDataDir();
    $key = $this->getCacheKey("user_rating");
    $map = $this->getMap();
    $pi = $map["products"];
    $iu = $map["indexOfUsers"];
    $m = count($iu);
    $index = $iu[$id];
    if ($dir) {
    $file = $dir . DIRECTORY_SEPARATOR . "$key.csv";
    if (filesize($file) > static::MAX_FILE_SIZE) {
        $csv = fopen($file, "r");
        for ($i = 0; $i < $index; $i++) {
        fgets($csv);
        }
        $vec = str_getcsv(fgets($csv));
        fclose($csv);
    } else {
        $arr = file($file, FILE_IGNORE_NEW_LINES);
        $vec = str_getcsv($arr[$index]);
    }
    } else {
    $vec = Cache::get("$key.$id");
    }

    arsort($vec);
    $rn = array_slice($vec, 0, $n, true);
    // 删除评分为 0 的项
    $rn = array_filter($rn, function ($item) {
    return abs($item) > 1e-9;
    });
    $fps = [];
    foreach ($rn as $pid => $score) {
    $fps[] = $pi[$pid];
    }

    return $fps;
}

python 实现:

# 评分矩阵按行逆向排序，返回索引
RI = np.argsort(-R, axis=1)

最后，通过投票，产生推荐产品, 以下投票策略比较粗糙，没有考虑选民的权重:

/**
 * 为用户 $uid 产生至多 $numberOfVoter * $numberOfVote 个推荐产品
 * @var int $uid user id
 * @var int $numberOfVoter 选民数
 * @var int $numberOfVote 每个选民的票数
 * @return array
 */
public function vote($uid, $numberOfVoter, $numberOfVote) : array
{
    $likes = $this->userLikes($uid, $numberOfVoter);
    $ps = [];
    foreach ($likes as $id) {
    $fps = $this->getUserFavouriteProducts($id, $numberOfVote);
    $ps = array_merge($ps, $fps);
    }
    $ps = array_unique($ps);
    // 推荐产品没有必要存储到文件
    $key = $this->getCacheKey("user_recommender_products");
    Cache::forever("$key.$uid", $ps);
    return $ps;
}

artisan 命令

以下 artisan 命令类，显示了训练的步骤:

<?php

namespace App\Console\Commands;

use Illuminate\Console\Command;
use App\Tools\RecommenderSystem as RS;
use Cache;

class RecommenderSystem extends Command
{
    protected $signature = 'resys:train {--D|datadir= : where to save data, default is cache} {--K|chunk=1 : number of users chunk} {--U|vu=10 : number of voter} {--N|vn=10 : number of votes}';

    protected $description = 'recommender system';

    public function __construct()
    {
    parent::__construct();
    }

    public function handle() : void
    {
    $k= intval($this->option("chunk"));
    $vu = intval($this->option("vu"));
    $vn = intval($this->option("vn"));
    $dir = $this->hasOption("datadir") ? $this->option("datadir") : null;
    $rs = new RS($k, $dir);
    // 1. 得到用户评分矩阵, O(n^2)
    $this->info("1. Compute user rating:");
    foreach ($rs->getRatingVectors() as $rv) {
        $bar1 = $bar1 ?? $this->output->createProgressBar($rv[1]);
        $bar1->setProgress($rv[0]);
    }
    $bar1->finish();
    $this->line("");

    // 2. 计算用户相似度矩阵, O(n^3)
    $this->info("2. Compute user similarity:");
    $bar2 = $this->output->createProgressBar($k);
    foreach ($rs->getSimilarityMatrix() as $sm) {
        $bar2->setProgress($sm[0]);
    }
    $bar2->finish();
    $this->line("");

    // 3. 投票决定为每一个用户推荐的产品, O(n)
    $this->info("3. vote:");
    $users = $rs->getMap()["users"];
    $bar3 = $this->output->createProgressBar(count($users));
    foreach ($users as $id) {
        $rs->vote($id, $vu, $vn);
        $bar3->advance();
    }
    $bar3->finish();
    $this->line("");

    // 4. 清除中间数据
    $this->info("4. clear cache:");
    foreach ($rs->clearCache() as $arr) {
        $bar4 = $bar4 ?? $this->output->createProgressBar($arr[1]);
        $bar4->setProgress($arr[0]);
    }
    $this->info("\nTrain done");

    }
}

执行效果如下:

xl@xl:~/apps/blog$ ll storage/rsdata/
total 8
drwxrwxr-x 2 xl xl 4096 Nov 17 13:28 ./
drwxr-xr-x 6 xl xl 4096 Nov 15 16:02 ../
xl@xl:~/apps/blog$ redis-cli 
127.0.0.1:6379> SELECT 1
OK
127.0.0.1:6379[1]> FLUSHALL
OK
127.0.0.1:6379[1]> exit
xl@xl:~/apps/blog$ time ./artisan resys:train -D storage/rsdata/ -K 4 -U 5 -N 5
1. Compute user rating:
 2099/2099 [▓▓▓▓▓▓▓▓▓▓▓▓▓▓▓▓▓▓▓▓▓▓▓▓▓▓▓▓] 100%
2. Compute user similarity:
 4/4 [▓▓▓▓▓▓▓▓▓▓▓▓▓▓▓▓▓▓▓▓▓▓▓▓▓▓▓▓] 100%
3. vote:
 2099/2099 [▓▓▓▓▓▓▓▓▓▓▓▓▓▓▓▓▓▓▓▓▓▓▓▓▓▓▓▓] 100%
4. clear cache:
 4/4 [▓▓▓▓▓▓▓▓▓▓▓▓▓▓▓▓▓▓▓▓▓▓▓▓▓▓▓▓] 100%
Train done

real    0m42.890s
user    0m23.208s
sys 0m2.285s
xl@xl:~/apps/blog$ ls -lh storage/rsdata/
total 668K
-rw-rw-r-- 1 xl xl  35K Nov 17 13:30 rs.map.json
-rw-rw-r-- 1 xl xl 632K Nov 17 13:30 rs.user_rating.csv
xl@xl:~/apps/blog$ redis-cli 
127.0.0.1:6379> SELECT 1
OK
127.0.0.1:6379[1]> KEYS *
   1) "laravel_cache:rs.user_recommender_products.705"
   2) "laravel_cache:rs.user_recommender_products.2957"
   3) "laravel_cache:rs.user_recommender_products.1697"
   4) "laravel_cache:rs.user_recommender_products.1625"
   5) "laravel_cache:rs.user_recommender_products.2844"
   6) "laravel_cache:rs.user_recommender_products.637"
   7) "laravel_cache:rs.user_recommender_products.1275"
   8) "laravel_cache:rs.user_recommender_products.2049"

127.0.0.1:6379[1]> get laravel_cache:rs.user_recommender_products.1060
"a:3:{i:0;i:9;i:1;i:1;i:2;i:10;}"

训练完成后，缓存中以 xxx.$user_id 保存着推荐产品 id 组成的数组。

更多

尚待优化

1. 未实现冷启动，就是说，不存在交互行为的用户不会产生推荐值，不存在交互的产品不会被推荐;
2. 总认为调用者的参数是合理的，不会对其做判断;
3. 总认为文件系统是稳定可靠的，读写文件不做检测;
4. 构造评分矩阵的过程中，一次只读一个用户的历史行为，数据库查询次数可能很多;
5. 推荐产品的数量并不保证下限，因为实际中评分矩阵往往是非常稀疏的，过小的参数可能会导致推荐产品数量非常少;
6. …

svd 与相似度矩阵

因为求相似度矩阵，其实就是求矩阵 BB' ，自然考虑使用 svd , [u, s, v] = svd(A) , u 就是 AA' 的特征矩阵， 而 u 本身是规范正交的 ， 使用 svd 可以省去单位化的步骤， 这么做的问题在于丢掉了产品 id 和索引之间的映射，尚未想到如何解决。

代码下载

1. src/app/Tools/RecommenderSystem.php , 训练类
2. src/app/Console/Commands/RecommenderSystem.php , artisan 命令类

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