第一章：勾股数组（1）

毕达哥拉斯定理（即勾股定理），它表明任一个直角三角形的两条直角边长的平方和等于斜边长的平方。用公式表示就是

a^2 + b^2 = c^2

第一个问题是，是否存在无穷多个勾股数组，即满足方程a^2 + b^2 = c^2的自然数三元组（a, b, c）。答案是 “肯定的”。如果取勾股数组（a，b，c），用整数 d 乘它，则得到新的勾股数组（da，db，dc）。这是成立的，因为

(da)^2 + (db)^2 = d^2(a^2 + b^2) = d^2c^2 = (dc)^2

本原勾股数组（简写为 PPT）

本原勾股数组是一个三元组（a，b，c），其中 a，b，c 没有公因数，且满足

a^2 + b^2 = c^2

下面是得到的一些本原勾股数组：

(3, 4, 5)\ \ (5, 12, 13)\ \ (8, 15, 17)\ \ (7, 24, 25)\\ (20, 21, 29)\ \ (9, 40, 41)\ \ (12, 35, 37)\ \ (11, 60，61)\\ (28, 45, 53)\ \ (33, 56, 65)\ \ (16, 63, 65)

由这个短表容易得到一些结论。例如，似乎 a 与 b 奇偶性不同且 c 总是奇数。
证明：首先，如果 a 与 b 都是偶数，则 c 也是偶数，这意味着 a，b，c 有公因数 2，所以三元祖不是本原的。其次，假设 a，b 都是奇数，那么 c 必是偶数。于是存在整数 x，y，z 使得

a = 2x + 1, b = 2y + 1, c = 2z

将其带入方程a^2 + b^2 = c^2得

(2x + 1)^2 + (2y + 1)^2 = (2z)^2\\ 4x^2 + 4x + 4y^2 + 4y + 2 = 4z^2

两边除以 2 得

2x^2 + 2x + 2y^2 + 2y + 1 = 2z^2

最后一个等式说的是一个奇数等于一个偶数，这是不可能的，所以 a 与 b 不能都是奇数。因为我们已经证明它们不可能都是偶数，也不可能都是奇数，故它们的奇偶性不同。再由方程a^2 + b^2 = c^2可得 c 是奇数。

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