[每日一题] 第五题:和为 s 的连续正数序列

题目描述

输入一个正整数 target,输出所有和为 target 的连续正整数序列(至少含有两个数)。

序列内的数字由小到大排列,不同序列按照首个数字从小到大排列。

示例 1:


输入:target = 9

输出:[[2,3,4],[4,5]]

示例 2:


输入:target = 15

输出:[[1,2,3,4,5],[4,5,6],[7,8]]

限制:

  • 1 <= target <= 10^5

什么是滑动窗口

滑动窗口可以看成数组中框起来的一个部分。在一些数组类题目中,我们可以用滑动窗口来观察可能的候选结果。当滑动窗口从数组的左边滑到了右边,我们就可以从所有的候选结果中找到最优的结果。

对于这道题来说,数组就是正整数序列 [1,2,3,…,n]。我们设滑动窗口的左边界为 i,右边界为 j,则滑动窗口框起来的是一个左闭右开区间 [i, j)。注意,为了编程的方便,滑动窗口一般表示成一个左闭右开区间。在一开始,i=1, j=1,滑动窗口位于序列的最左侧,窗口大小为零。

[每日一题] 第五题:和为 s 的连续正数序列

滑动窗口的重要性质是:窗口的左边界和右边界永远只能向右移动,而不能向左移动。这是为了保证滑动窗口的时间复杂度是 O(n)。如果左右边界向左移动的话,这叫做“回溯”,算法的时间复杂度就可能不止 O(n)。

在这道题中,我们关注的是滑动窗口中所有数的和。当滑动窗口的右边界向右移动时,也就是 j = j + 1,窗口中多了一个数字 j,窗口的和也就要加上 j。当滑动窗口的左边界向右移动时,也就是 i = i + 1,窗口中少了一个数字 i,窗口的和也就要减去 i。滑动窗口只有 右边界向右移动(扩大窗口)左边界向右移动(缩小窗口) 两个操作,所以实际上非常简单。

如何用滑动窗口解这道题

要用滑动窗口解这道题,我们要回答两个问题:

1. 第一个问题,窗口何时扩大,何时缩小?

2. 第二个问题,滑动窗口能找到全部的解吗?

对于第一个问题,回答非常简单:

  • 当窗口的和小于 target 的时候,窗口的和需要增加,所以要扩大窗口,窗口的右边界向右移动

  • 当窗口的和大于 target 的时候,窗口的和需要减少,所以要缩小窗口,窗口的左边界向右移动

  • 当窗口的和恰好等于 target 的时候,我们需要记录此时的结果。设此时的窗口为 [i, j),那么我们已经找到了一个 i 开头的序列,也是唯一一个 i 开头的序列,接下来需要找 i+1 开头的序列,所以窗口的左边界要向右移动

对于第二个问题,我们可以稍微简单地证明一下:

[每日一题] 第五题:和为 s 的连续正数序列

我们一开始要找的是 1 开头的序列,只要窗口的和小于 target,窗口的右边界会一直向右移动。假设 1+2+⋯+8 小于 target,再加上一个 9 之后, 发现 1+2+⋯+8+9 又大于 target 了。这说明 1 开头的序列找不到解。此时滑动窗口的最右元素是 9

接下来,我们需要找 2 开头的序列,我们发现,2 + …… + 8 < 1 + 2 + + 8 < target。这说明 2 开头的序列至少要加到 9。那么,我们只需要把原先 1~9 的滑动窗口的左边界向右移动,变成 2~9 的滑动窗口,然后继续寻找。而右边界完全不需要向左移动。

以此类推,滑动窗口的左右边界都不需要向左移动,所以这道题用滑动窗口一定可以得到所有的解。时间复杂度是 O(n)

注:这道题当前可以用等差数列的求和公式来计算滑动窗口的和。不过我这里没有使用求和公式,是为了展示更通用的解题思路。实际上,把题目中的正整数序列换成任意的递增整数序列,这个方法都可以解。

题解

public int[][] findContinuousSequence(int target) {
    int i = 1; // 滑动窗口的左边界
    int j = 1; // 滑动窗口的右边界
    int sum = 0; // 滑动窗口中数字的和
    List<int[]> res = new ArrayList<>();

    while (i <= target / 2) {
        if (sum < target) {
            // 右边界向右移动
            sum += j;
            j++;
        } else if (sum > target) {
            // 左边界向右移动
            sum -= i;
            i++;
        } else {
            // 记录结果
            int[] arr = new int[j-i];
            for (int k = i; k < j; k++) {
                arr[k-i] = k;
            }
            res.add(arr);
            // 左边界向右移动
            sum -= i;
            i++;
        }
    }

    return res.toArray(new int[res.size()][]);
}

个人理解

1. 方法:首先是采用滑动窗口的方法,循环进行判断。

2. 循环条件:循环可以是 for 循环,也可以是 while 循环。以 while 循环为例,循环的条件是什么呢?我们的题目是求出所有和为 target 的连续正整数序列(至少含有两个数),所以循环只需要到 target/2 即可,超过这个值之后,两个连续的值肯定大于 target,所以我们假设我们 <= target/2,那么我们以示例为例,target/2 为 4,还会取 > target/2 后面的一位,那我们就完全可以用滑动窗口的左半部分做循环条件,那么循环条件就为 while(left < target/2),left 的起始条件应该为 1,从 0 开始没有意义,因为我们要找以 1 开头的序列。

3. 滑动窗口的初始左右边界:初始左右边界我们都可以从最左边界开始,即 1

4. 滑动窗口何时移动:注意我们一直是右移。当 当前和target 小的时候,说明该加了,就应该右移 右边界。当 当前和target 大的时候,说明该减了,就应该右移 左边界。当 当前和target 相等的时候,说明当前记录符合题目要求,就应该记录当前值,并右移 右边界

5. 返回结果类型:这个我只能记住了,定义一个 List<int[]> 类型,然后每个结果集存成 int[] 数组,再调用 add() 方法添加。最后通过 toArray() 方法转换成返回类型。

6. 注意:结果相等的时候也要 ++i,然后减去 i 的值。

7. 顺序问题:一定要先执 sum -= i; 操作,在执行 i++ 操作,这样才不会出错。

来源

作者:nettee
链接:leetcode-cn.com/problems/he-wei-sd...
来源:力扣(LeetCode)

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