题目描述

输入数字 n，按顺序打印出从 1 到最大的 n 位十进制数。比如输入 3，则打印出 1、2、3 一直到最大的 3 位数 999。

示例 1:

输入: n = 1
输出: [1,2,3,4,5,6,7,8,9]

说明：

• 用返回一个整数列表来代替打印
• n 为正整数

题解

方法一：分治算法/全排列

解题思路：

题目要求打印“从 1 至最大的 n 位数的列表”，因此需要考虑以下两个问题：

1. 最大的 n 位数（记为 end）和 位数 n 的关系： 例如最大的 1 位数是 9，最大的 2 位数是 99，最大的 3 位数是 999。则可退出公式：end = 10^n - 1
2. 大数越界问题： 当 n 较大时，end 会超出 int32 整型的取值范围，超出取值范围的数字无法正常存储，但由于本题要求返回 int 类型数组，相当于默认所有数字都在 int32 整型取值范围内，因此不考虑大数越界问题。

因此，只需要定义区间 [1,10^n - 1] 和步长 1，通过 for 循环生成结果列表 res 并返回即可。

代码

class Solution {
    public int[] printNumbers(int n) {
        int end = (int)Math.pow(10, n) - 1;
        int[] res = new int[end];
        for(int i = 0; i < end; i++)
            res[i] = i + 1;
        return res;
    }
}

复杂度分析

• 时间复杂度 O(10^n) ：生成长度为 10^n 的列表需使用 O(10^n) 时间。
• 空间复杂度 O(1) ：建立列表需使用 O(1) 大小的额外空间（列表作为返回结果，不计入额外空间）

其他知识点

大数打印解法：

实际上，本题的主要考点是大数越界情况下的打印，需要解决以下三个问题：

1. 表示大数的变量类型：

   • 无论是 short/int/long…… 任意变量类型，数字的取值范围都是有限的。因此，大数的表示应用字符串 String 类型。

2. 生成数字的字符串集：

   • 使用 int 类型时，每轮可通过 +1 生成下个数字，而此方法无法应用至 String 类型。并且，String 类型的数字的进位操作效率较低，例如 9999 至 10000 需要从个位到千位循环判断，进位 4 次。
   • 观察可知，生成的列表实际上是 n 位 0 - 9 的全排列，因此可避开进位操作，通过递归生成数字的 String 列表。

3. 递归生成全排列：

   • 基于分支算法的思想，先固定高位，向低位递归，当个位已被固定时，添加数字的字符串，例如当 n = 2 时（数字范围 1 - 99），固定十位为 0 - 9，按顺序依次开启递归，固定个位 0 - 9，终止递归并添加数字字符串。

class Solution {
    StringBuilder res;
    int count = 0, n;
    char[] num, loop = {'0', '1', '2', '3', '4', '5', '6', '7', '8', '9'};
    public String printNumbers(int n) {
        this.n = n;
        res = new StringBuilder(); // 数字字符串集
        num = new char[n]; // 定义长度为 n 的字符列表
        dfs(0); // 开启全排列递归
        res.deleteCharAt(res.length() - 1); // 删除最后多余的逗号
        return res.toString(); // 转化为字符串并返回
    }
    void dfs(int x) {
        if(x == n) { // 终止条件：已固定完所有位
            res.append(String.valueOf(num) + ","); // 拼接 num 并添加至 res 尾部，使用逗号隔开
            return;
        }
        for(char i : loop) { // 遍历 ‘0‘ - ’9‘
            num[x] = i; // 固定第 x 位为 i
            dfs(x + 1); // 开启固定第 x + 1 位
        }
    }
}

在此方法下，各数字字符串被逗号隔开，共同组成长字符串，返回的数字集字符串如下所示：

输入：n = 1
输出："0,1,2,3,4,5,6,7,8,9"

输入：n = 2
输出："00,01,02,...,10,11,12,...,97,98,99"

输入：n = 3
输出："000,001,002,...,100,101,102,...,997,998,999"

观察可知，当前的生成方法仍有以下问题：

1. 诸如 00，01，02，…… 应显示为 0，1，2，……，即应 删除高位多余的 0；
2. 此方法从 0 开始生成，而题目要求 列表从 1 开始；

以上两个问题的解决方法如下：

1. 删除高位多余的 0：

   • 字符串左边界定义： 声明变量 start 规定字符串的左边界，以保证添加的数字字符串 num[start:] 中无高位多余的 0。例如当 n = 2 时，1 - 9 时 start = 1，10 - 99 时，start = 0。
   • 左边界 start 变化规律：观察可知，当输出数字的所有位都是 9 时，则下个数字需要向更高位进 1，此时左边界 start 需要减 1（即高位多余的 0 减少一个）。例如当 n = 3（数字范围为 1 - 999）时，左边界 start 需要减 1 的情况有：“009”进位至“010”，“099”进位至“100”。设数字中 9 的个数为 nine，所有位都为 9 的判断条件可用以下公式表示，n - start = nine
   • 统计 nine 的方法：固定第 x 位时，当 i = 9 则执行 nine = nine + 1，并在回溯前恢复 nine = nine - 1。

2. 列表从 1 开始

   • 在以上方法的基础上，添加数字字符串前判断其是否为 “0” ，若为 “0” 则直接跳过。

复杂度分析：

• 时间复杂度 O(10^n) ： 递归的生成的排列的数量为 10^n。
• 空间复杂度 O(n) ： 字符列表 num 使用线性大小的额外空间。

代码：

为 正确表示大数 ，以下代码的返回值为数字字符串集拼接而成的长字符串。

class Solution {
    StringBuilder res;
    int nine = 0, count = 0, start, n;
    char[] num, loop = {'0', '1', '2', '3', '4', '5', '6', '7', '8', '9'};
    public String printNumbers(int n) {
        this.n = n;
        res = new StringBuilder();
        num = new char[n];
        start = n - 1;
        dfs(0);
        res.deleteCharAt(res.length() - 1);
        return res.toString();
    }
    void dfs(int x) {
        if(x == n) {
            String s = String.valueOf(num).substring(start);
            if(!s.equals("0")) res.append(s + ",");
            if(n - start == nine) start--;
            return;
        }
        for(char i : loop) {
            if(i == '9') nine++;
            num[x] = i;
            dfs(x + 1);
        }
        nine--;
    }
}

本题要求输出 int 类型数组。为 运行通过 ，可在添加数字字符串 ss 前，将其转化为 int 类型。代码如下所示：

class Solution {
    int[] res;
    int nine = 0, count = 0, start, n;
    char[] num, loop = {'0', '1', '2', '3', '4', '5', '6', '7', '8', '9'};
    public int[] printNumbers(int n) {
        this.n = n;
        res = new int[(int)Math.pow(10, n) - 1];
        num = new char[n];
        start = n - 1;
        dfs(0);
        return res;
    }
    void dfs(int x) {
        if(x == n) {
            String s = String.valueOf(num).substring(start);
            if(!s.equals("0")) res[count++] = Integer.parseInt(s);
            if(n - start == nine) start--;
            return;
        }
        for(char i : loop) {
            if(i == '9') nine++;
            num[x] = i;
            dfs(x + 1);
        }
        nine--;
    }
}

题解来源

作者：jyd
链接：leetcode-cn.com/problems/da-yin-co...
来源：力扣（LeetCode）

题目来源

来源：力扣（LeetCode）
链接：leetcode-cn.com/problems/da-yin-co...

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