[每日一题] 第十六题:n个骰子的点数

题目描述

把n个骰子扔在地上,所有骰子朝上一面的点数之和为s。输入n,打印出s的所有可能的值出现的概率。

你需要用一个浮点数数组返回答案,其中第 i 个元素代表这 n 个骰子所能掷出的点数集合中第 i 小的那个的概率。

示例 1:

输入: 1
输出: [0.16667,0.16667,0.16667,0.16667,0.16667,0.16667]

示例 2:

输入: 2
输出: [0.02778,0.05556,0.08333,0.11111,0.13889,0.16667,0.13889,0.11111,0.08333,0.05556,0.02778]

限制:

  • 1 <= n <= 11

题解

方法一:动态规划

文章可能没有很清晰的讲述代码中的一些细节,但这些细节大多数都可以在评论中找到,我都进行了详细的解释,希望对大家有帮助。

解题思路

题目需要我们求出所有点数出现的概率,根据概率出现的计算公式,点数 k 出现概率计算公式为:

P(k)=k 出现次数 / 总次数

投掷 n 个骰子,所有点数出现的总次数是 6^n,因为一共有 n 枚骰子,每枚骰子的点数都有 6 种可能出现的情况。我们的目的就是 计算出投掷完 n 枚骰子后每个点数出现的次数。

使用递归造成重复计算的问题

单纯使用递归搜索解空间的时间复杂度为 6^n,会造成超时错误,因为存在重复子结构。解释如下:

我们使用递归函数 getCount(n,k) 来表示投掷 n 枚骰子,点数 k 出现的次数。

为了简化分析,我们以投掷 2 枚骰子为例。

我们来模拟计算点数 4 和点数 6,这两种点数各自出现的次数。也就是计算 getCOunt(2,4) 和 getCount(2,6)。

他们的计算公式为:

getCount(2,4) = getCount(1,1) + getCount(1,2) + getCount(1,3)
getCount(2,6) = getCount(1,1) + getCount(1,2) + getCount(1,3) + getCount(1,4) + getCount(1,5)

我们发现递归统计这两种点数的出现次数时,重复计算了 getCount(1,1) + getCount(1,2) + getCount(1,3)

这些子结构,计算其它点数的次数时同样存在大量的重复计算。

动态规划

使用动态规划解决问题一般分为三步:

  1. 表示状态
  2. 找出状态转移方程
  3. 边界处理

下面我们一步一步分析,相信你一定会有收获!

表示状态

分析问题的状态时,不要分析整体,只分析最后一个阶段即可!因为动态规划问题都是划分为多个阶段的,各个阶段的状态表示都是一样,而我们的最终答案就是在最后一个阶段。

对于这道题,最后一个阶段是什么呢?

通过题目我们知道一共投掷 n 枚骰子,那最后一个阶段很显然就是:当投掷完 n 枚骰子后,各个点数出现的次数。

注意:这里的点数指的是前 n 枚骰子的点数和,而不是第 n 枚骰子的点数,下文同理。

找出了最后一个阶段,那状态表示就简单了。

  • 首先用数组的第一维来表示阶段,也就是投掷完了几枚骰子。
  • 然后用第二维来表示投掷完这些骰子后,可能出现的点数。
  • 数组的值就表示,该阶段各个点数出现的次数。

所以状态表示就是这样的 dp[i][j],表示投掷完 i 枚骰子后,点数 j 的出现次数。

找出状态转移方程

找状态转移方程也就是找各个阶段之间的转化关系,同样我们还是只需分析最后一个阶段,分析它的状态是如何做到的。

最后一个阶段也就是投掷完 n 枚骰子后的这个阶段,我们用 dp[n][j] 来表示最后一个阶段点数 j 出现的次数。

单单看第 n 枚骰子,它的点数可能为 1,2,3,4,5,6,因为投掷完 n 枚骰子后点数 j 出现的次数,可以由投掷完 n-1 枚骰子后,对应点数 j-1,j-2,j-3,j-4,j-5,j-6 出现的次数转化过来。

for (第n枚骰子的点数 i = 1; i <= 6; i ++) {
    dp[n][j] += dp[n-1][j - i]
}

写成数学公式是这样的:

          6
dp[n][j]= ∑  dp[n−1][j−i]
         i=1    

n 表示阶段,j 表示投掷完 n 枚骰子后的点数和,i 表示第 n 枚骰子会出现的六个点数。

边界处理

这里的边界处理很简单,只要我们把可以直接知道的状态初始化就好了。

我们可以直接指导的状态是啥,就是第一阶段的状态:投掷完 1 枚骰子后,它的可能点数分别为 1,2,3,4,5,6,并且每个点数出现的次数都是 1.

for (int i = 1; i <= 6; i ++) {
    dp[1][i] = 1;
}

代码

class Solution {
public:
   vector<double> twoSum(int n) {
       int dp[15][70];
       memset(dp, 0, sizeof(dp));
       for (int i = 1; i <= 6; i ++) {
           dp[1][i] = 1;
       }
       for (int i = 2; i <= n; i ++) {
           for (int j = i; j <= 6*i; j ++) {
               for (int cur = 1; cur <= 6; cur ++) {
                   if (j - cur <= 0) {
                       break;
                   }
                   dp[i][j] += dp[i-1][j-cur];
               }
           }
       }
       int all = pow(6, n);
       vector<double> ret;
       for (int i = n; i <= 6 * n; i ++) {
           ret.push_back(dp[n][i] * 1.0 / all);
       }
       return ret;
   }
}; 

空间优化

我们知道,每个阶段的状态都只和它前一阶段的状态优化,因此我们不需要额外的一维来保存所有阶段。

用一维数组来保存一个阶段的状态,然后对下一阶段可能出现的点数 j 从大到小遍历,实现一个阶段一个阶段的转换。

优化代码如下:

class Solution {
public:
    vector<double> twoSum(int n) {
        int dp[70];
        memset(dp, 0, sizeof(dp));
        for (int i = 1; i <= 6; i ++) {
            dp[i] = 1;
        }
        for (int i = 2; i <= n; i ++) {
            for (int j = 6*i; j >= i; j --) {
                dp[j] = 0;
                for (int cur = 1; cur <= 6; cur ++) {
                    if (j - cur < i-1) {
                        break;
                    }
                    dp[j] += dp[j-cur];
                }
            }
        }
        int all = pow(6, n);
        vector<double> ret;
        for (int i = n; i <= 6 * n; i ++) {
            ret.push_back(dp[i] * 1.0 / all);
        }
        return ret;
    }
};

个人理解

  1. 感觉用递归的题都可以用动态规划来实现。
  2. 使用动态规划的话,就得实现动态规划的三步:状态状态转移方程边界值
  3. 当我们确定了上述三步之后,其实我们已经解决了这个题。
  4. 各个数组循环起始、数组大小一定要搞清楚。

附上一个我写的 java 版本的代码

class Solution {
    public double[] twoSum(int n) {
        double[] result = new double[5*n+1];
        int total = (int) Math.pow(6,n);
        int[][] dp = new int[n+1][6*n+1];
        for (int i = 1 ; i <= 6; i++) {
            dp[1][i] = 1;
        }
        for (int i = 2; i <= n; i++) {
            for (int j = i; j <= 6*i; j++) {
                for (int current = 1; current <= 6; current ++) {
                    if (j <= current) {
                        break;
                    }
                    dp[i][j] += dp[i-1][j-current];
                }
            }
        }

        for (int i = n; i <= 6*n; i++) {
            result[i-n] = (double) dp[n][i] / total;
        }

        return result;
    }
}

题解来源

作者:huwt
链接:leetcode-cn.com/problems/nge-tou-z...
来源:力扣(LeetCode)

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来源:力扣(LeetCode)
链接:leetcode-cn.com/problems/nge-tou-z...

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