等差数列与等比数列

等差数列#

$\displaystyle a_{n+1}-a_n=d,\ n\geqslant1\\{}\\ a_{n+1}=a_n+d\\{}\\ a_n=a_1+(n-1)d$

若$a,A,b$ 成等差数列，则

$\displaystyle A=\frac{a+b}{2}$

前$n$ 项和

$\displaystyle S_n=\frac{n\cdot(a_1+a_n)}{2}\\{}\\ S_n=na_1+\frac{n(n-1)}{2}d$

若$m+n=p+q$ 且$m,n,p,q\in\N^*$，则$a_m+a_n=a_p+a_q$。
$a_n=a_m+(n-m)d,(n,m\in\N^+,n>m)$，即$d=\frac{a_n-a_m}{n-m}$。
证明一个数列为等差数列的方法：
定义法

$\displaystyle a_{n+1}-a_n=d$

设元技巧：
三数等差

$\displaystyle a-d,a,a+d$

等比数列#

$\displaystyle \frac{a_{n+1}}{a_n}=q,\ (q\neq0,n\geqslant1)\\{}\\ a_{n+1}=a_nq\\{}\\ a_n=a_1q^{n-1},\ (a_1,q\neq0)$

若$a,G,b$ 成等比数列，则$G^2=a\cdot b$ 即$G=\pm\sqrt{a\cdot b}$。
前$n$ 项和

$\displaystyle S_n=\left\{ \begin{aligned} na_1(q=1)\\ \frac{a_1(1-q^n)}{1-q}=\frac{a_1-a_nq}{1-q},(q\neq1) \end{aligned} \right.$

若$m+n=p+q$ 且$m,n,p,q\in\N^*$，则$a_m\cdot a_n=a_p\cdot a_q$。
$a_n=a_m\cdot q^{n-m},(n,m\in\N^+,n>m)$ 即$q^{n-m}=\frac{a_n}{a_m}$。
证明一个数列为等比数列的方法：
定义法

$\displaystyle \frac{a_{n+1}}{a_n}=q$

设元技巧：
三数等比

$\displaystyle \frac{a}{q},a,aq$

已知数列前$n$ 项和$S_n$，求$a_n$ 的方法：

$\displaystyle \mathrm{when}\ n\geqslant2,\ a_n=S_n-S_{n-1}\\{}\\ \mathrm{when}\ n=1,a_1=S_1,\ \mathrm{valid}\ a_1\ \mathrm{satisfy}\ a_n$