微积分基本函数

基本函数表#

$\displaystyle \frac{x^{n+1}}{x+1}\Longrightarrow x^n\Longrightarrow nx^{n-1}\\{}\\ -\cos x\Longrightarrow\sin x\Longrightarrow\cos x\\{}\\ \sin x\Longrightarrow\cos x\Longrightarrow-\sin x\\{}\\ \frac{e^{cx}}{c}\Longrightarrow e^{cx}\Longrightarrow ce^{cx}\\{}\\ x\ln x-x\Longrightarrow\ln x\Longrightarrow\frac{1}{x}$

1/f (x) 的求导#

这与前面章节的$\displaystyle\frac{1}{x}$ 求导不同，$x$ 是个自变量，而$f(x)$ 则是函数。

$\displaystyle \left(\frac{1}{f(x)}\right)^\prime=[f(x)^{-1}]^\prime=-f^{-2}\cdot f^\prime$

这是个复合函数，我们设$\displaystyle g(f)=\frac{1}{f}$，所以我们有两个函数：内部函数$f(x)$，外部函数$g(f)$。

$\displaystyle \left(\frac{1}{f}\right)^\prime=g^\prime f^\prime=-f^{-2}f^\prime$

有时候我们会写成：

$\displaystyle \left(\frac{1}{v}\right)^\prime=(v^{-1})^\prime=-v^{-2}\cdot v^\prime$

这时候需要注意不要当成$\displaystyle\left(\frac{1}{x}\right)^\prime$ 看待，这里$v$ 是函数，中间的$v^{-1}$ 不是$v$ 的反函数，这点需要当心，如果带上自变量的写法应该是$v(x)^{-1}$，而不是反函数写法$v^{-1}(x)$，数学中经常有这样的符号混淆，所以有时候看情况而定，在求导过程中最需要注意的是分辨字母所代表的是个函数还是底层的自变量。如果某函数很简单，像这样直接原样赋值函数就另当别论：$y=x,y=f(x)\Rightarrow f(x)=x$。
实际上我们之前说的$\displaystyle\left(\frac{1}{x}\right)^\prime$ 的求导也属于这个情况，毕竟数学法则都是严谨的，我们把这个底层自变量$x$ 当成$x(x)=x$ 这样的赋值函数来看待：

$\displaystyle \left(\frac{1}{x}\right)^\prime=(x^{-1})^\prime=-x^{-2}\cdot x^\prime\\{}\\ =-x^{-2}\cdot1=-x^{-2}$

有了这个法则，我们可以用到求导乘法法则来看待求导除法法则：

$\displaystyle \left(\frac{u}{v}\right)^\prime=(uv^{-1})^\prime\\{}\\ =u^\prime v^{-1}+u(-v^{-2}v^\prime)\\{}\\ =\frac{u^\prime}{v}-\frac{uv^\prime}{v^2}\\{}\\ =\frac{u^\prime v-uv^\prime}{v^2}$

我们之前探讨的$\ln x$ 求导，和$\ln u$ 求导当然也是这样的情况，$u$ 是函数，$x$ 是自变量。$\displaystyle(\ln x)^\prime=\frac{1}{x}$ 也是$\displaystyle(\ln u)^\prime=\frac{u^\prime}{u}$。

ln 三角函数的求导#

$\displaystyle (\sec x)^\prime=\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}(\cos x)^{-1}\\{}\\ =-(\cos x)^{-2}(-\sin x)\\{}\\ =\frac{\sin x}{\cos^2x}=\frac{1}{\cos x}\cdot\frac{\sin x}{\cos x}=\sec x\tan x\\{}\\ \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\ln(\sec x)=\frac{(\sec x)^\prime}{\sec x}\\{}\\ =\frac{\sec x\tan x}{\sec x}\\{}\\ =\tan x\\{}\\ \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}e^{x\tan^{-1}x}=e^{x\tan^{-1}x}\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}(x\tan^{-1}x)\\{}\\ =e^{x\tan^{-1}x}\left(\tan^{-1}x+\frac{x}{1+x^2}\right)$

一般三角函数的倒数写成负指数形式会写成$(\cos x)^{-1}$，这是$\sec x$ 的另一种表达方式，但我们不会写成$\cos^{-1}x$，因为这通常代表$\arccos x$。