求导乘法法则

导数乘法法则#

$(uv)^\prime=u^\prime v+uv^\prime$

其中$u,v$ 都是关于$x$ 的函数。
我们证明下乘法法则，通过观察$x$ 改变一点点时，乘积$uv$ 改变了多少：

$\displaystyle \Delta(uv)=u(x+\Delta x)v(x+\Delta x)-u(x)v(x)\\{}\\ =[u(x+\Delta x)-u(x)]v(x+\Delta x)+u(x)[v(x+\Delta x)-v(x)]\\{}\\ =\Delta u\cdot v(x+\Delta x)+u(x)\Delta v$

如果这个推导看懵了，请参考$ab-cd=b(a-c)+c(b-d)$。

现在我们把等式两边同乘$\frac{1}{\Delta x}$：

$\displaystyle \frac{\Delta(uv)}{\Delta x}=\frac{\Delta u}{\Delta x}v(x+\Delta x)+u(x)\frac{\Delta v}{\Delta x}\\{}\\ \because\Delta x\to0\\{}\\ \therefore v(x+\Delta x)\to v(x)\\{}\\ \frac{\mathrm{d}(uv)}{\mathrm{d}x}=\frac{\mathrm{d}u}{\mathrm{d}x}\cdot v+u\cdot\frac{\mathrm{d}v}{\mathrm{d}x}\\{}\\ \frac{\mathrm{d}(uv)}{\mathrm{d}x}=u^\prime v+uv^\prime$

证明完毕，那就来两个例子：

$f(x)=\sin x\cos x\Longrightarrow f^\prime=\sin^\prime x\cos x+\sin x\cos^\prime x\\{}\\ f^\prime=\cos^2x-\sin^2x\\{}\\ f(x)=x^3\sin x\Longrightarrow f^\prime=3x^2\sin x+x^3\cos x$