改变变量法

改变变量法

前面在不定积分的章节我们说过变量替换：

\displaystyle \int g(u)du=\int g(u(x))u^\prime dx\\{}\\ u=u(x),du=u^\prime(x)dx

现在我们推广到定积分中：

\displaystyle \int_{u_1}^{u_2}g(u)du=\int_{x_1}^{x_2}g(u(x))u^\prime(x)dx\\{}\\ u_1=u(x_1),u_2=u(x_2)

这里有一点需要注意，只有在u^\prime没有改变符号时才有效。
在任何积分中都要注意这是对谁的积分，那么上下限也是赋值给谁的积分：

\displaystyle \int_{\color{red}x_1}^{\color{red}x_2}f(x)d\color{red}x

例：

\displaystyle \int_1^2(x^3+2)^5x^2dx=\int_3^{10}u^5\frac{1}{3}du\\{}\\ =\frac{u^6}{18}\bigg|_3^{10}=\frac{1}{18}(10^6-3^6)\\{}\\ \color{#789} u=x^3+2,du=3x^2dx\\{}\\ \frac{1}{3}du=x^2dx\\{}\\ u_1=1^3+2=3,u_2=2^3+2=10

再来个变号的反例：

\displaystyle \int_{-1}^1x^2dx\not=\int_1^1u\frac{1}{2\sqrt{u}}du\\{}\\ u=x^2,du=2xdx\\{}\\ dx=\frac{1}{2x}du\xlongequal{❌不符合规范}\frac{1}{2\sqrt{u}}du\\{}\\ \because x=\pm\sqrt{u}\\{}\\ ❌u_1=(-1)^2=1,u_2=1^2=1

遇到\displaystyle\int_-^+这样的问题可以分成\displaystyle\int_-^0和\displaystyle\int_0^+两段来计算，然后两段相加。