MVT 中值定理

未匹配的标注

中值定理(MVT)

说到中值定理,肯定会关系到:

  • 费马定理
  • 罗尔定理
  • 拉格朗日中值定理
  • 柯西中值定理
    不过本文档的宗旨是快速提供微积分入门知识,这不是专业数学课,很多细节不过多探讨,这里我们只谈论「拉格朗日中值定理」,实际上「罗尔定理」是「拉格朗日中值定理」的特殊情形。

拉格朗日中值定理

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图中红色直线的斜率可以用f^\prime(\xi)来表示。

\displaystyle f^\prime(\xi)=\frac{f(b)-f(a)}{b-a}\\{}\\ \Rightarrow f(b)-f(a)=f^\prime(\xi)(b-a)\\{}\\ f(b)=f(a)+f^\prime(\xi)(b-a)\\{}\\ a < b

推论:
f^\prime>0,f递增;当f^\prime< 0,f递减;当f^\prime=0,f是个常数。

\displaystyle f^\prime(\xi)>0\Longrightarrow f(b)>f(a)\\{}\\ f^\prime(\xi)<0\Longrightarrow f(b)< f(a)\\{}\\ f^\prime(\xi)=0\Longrightarrow f(b)=f(a)\\{}\\ \min f^\prime\leq\frac{f(b)-f(a)}{b-a}=f^\prime(\xi)\leq\max f^\prime\\{}\\ a< \xi< b,a\leq x\leq b

证明只需一张图即可:
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