积分唯一性定理与换元法

积分唯一性定理#

如果$F^\prime=G^\prime$，则：

$F(x)=G(x)+c$

证明：
如果$F^\prime=G^\prime$，则

$(F-G)^\prime=F^\prime-G^\prime=0\\{}\\ F(x)-G(x)=c$

换元法（变量代换）#

一个积分要么一眼就能看出答案，要么就试试「换元法」吧。

$\displaystyle \int x^3(x^4+2)^5dx\\{}\\ u=x^4+2\Rightarrow du=4x^3dx\\{}\\ \int \underbrace{(x^4+2)^5}_{u^5}\underbrace{x^3dx}_{\frac{1}{4}du}=\int\frac{u^5du}{4}\\{}\\ =\frac{1}{24}u^6+c\\{}\\ =\frac{1}{24}(x^4+2)^6+c\\{}\\ \int\frac{xdx}{\sqrt{1+x^2}}\\{}\\ u=1+x^2\Rightarrow du=2xdx\\{}\\ ...\int\frac{xdx}{\sqrt{1+x^2}}=\sqrt{1+x^2}+c\\{}\\ \int e^{6x}dx=\frac{1}{6}e^{6x}+c\\{}\\ \int xe^{-x^2}dx=-\frac{1}{2}e^{-x^2}+c$

有时候也可以凭直觉猜测：

$\displaystyle \int\sin x\cos xdx=\frac{1}{2}\sin^2x+c$

这里我猜的是$\sin^2x$：

$\displaystyle \frac{d}{dx}\sin^2x=2\sin x\cos x$

所以就能快速得出答案，通过猜测，校准的方式得到答案。
但是这个三角函数我要说个特例：

$\displaystyle \frac{d}{dx}\cos^2x=2\cos x(-\sin x)$

所以我得到了另一个答案：

$\displaystyle \int\sin x\cos xdx=-\frac{1}{2}\cos^2x+c$

其实这两个答案不冲突，没有违反唯一性定理，他们都是同一族函数。
现在我们有两个答案：

$\displaystyle \int\sin x\cos xdx=\frac{1}{2}\sin^2x+c_1\\{}\\ \int\sin x\cos xdx=-\frac{1}{2}\cos^2x+c_2$

由于这两个函数是同一个函数的积分，它们相等，我们可以来看看$c_1$ 和$c_2$ 的关系：

$\displaystyle \frac{1}{2}\sin^2x-(-\frac{1}{2}\cos^2x)\\{}\\ =\frac{1}{2}(\sin^2x+\cos^2x)=\frac{1}{2}\\{}\\ \therefore c_1-c_2=-\frac{1}{2}$

有很多三角函数长得不同，但实质上是一样的，并且很难检查它们是否一样，需要一些三角恒等式。

再来看个换元大法的例子：

$\displaystyle \int\frac{dx}{x\ln x}$

瞄准最诡异的部分进行换元就行了。

$\displaystyle u=\ln x\\{}\\ du=\frac{dx}{x}\\{}\\ \int\frac{dx}{x\ln x}=\int\underbrace{\frac{1}{\ln x}}_{\frac{1}{u}}\underbrace{\frac{dx}{x}}_{du}\\{}\\ =\int\frac{du}{u}\\{}\\ =\ln u+c\\{}\\ =\ln(\ln x)+c$

严格上我们应该写成：

$\displaystyle =\ln|\ln x|+c$