复合函数与链式法则

链式法则

\displaystyle \frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}t}=\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}\cdot\frac{\mathrm{d}x}{\mathrm{d}t}

链式法则证明：

\displaystyle \frac{\Delta y}{\Delta t}=\frac{\Delta y}{\Delta x}\cdot\frac{\Delta x}{\Delta t}\\{}\\ \Delta t\to0\\{}\\ \frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}t}=\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}\cdot\frac{\mathrm{d}x}{\mathrm{d}t}

复合函数

例 1：

f(t)=(\sin t)^{10}

现在我们设x为内部函数\sin t，设y为外部函数x^{10}。

x(t)=\sin t\\ y(x)=x^{10}\\{}\\ f^\prime(t)=10x^9\cdot \cos t=10\sin^{9}t\cos t

例 2：

f(t)=\sin(10t)

现在我们设x为内部函数10t，设y为外部函数\sin x。

\displaystyle \frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}t}=\cos x\cdot10=10\cos(10t)\\{}\\ \therefore f^\prime(t)=10\cos(10t)

要点：看到复合函数时，需要分清内部函数与外部函数