复合函数与链式法则

未匹配的标注

链式法则#

dydt=dydxdxdt\displaystyle \frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}t}=\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}\cdot\frac{\mathrm{d}x}{\mathrm{d}t}

链式法则证明:

ΔyΔt=ΔyΔxΔxΔtΔt0dydt=dydxdxdt\displaystyle \frac{\Delta y}{\Delta t}=\frac{\Delta y}{\Delta x}\cdot\frac{\Delta x}{\Delta t}\\{}\\ \Delta t\to0\\{}\\ \frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}t}=\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}\cdot\frac{\mathrm{d}x}{\mathrm{d}t}

复合函数#

例 1:

f(t)=(sint)10f(t)=(\sin t)^{10}

现在我们设x x 为内部函数sint \sin t,设y y 为外部函数x10 x^{10}

x(t)=sinty(x)=x10f(t)=10x9cost=10sin9tcostx(t)=\sin t\\ y(x)=x^{10}\\{}\\ f^\prime(t)=10x^9\cdot \cos t=10\sin^{9}t\cos t

例 2:

f(t)=sin(10t)f(t)=\sin(10t)

现在我们设x x 为内部函数10t 10t,设y y 为外部函数sinx \sin x

dydt=cosx10=10cos(10t)f(t)=10cos(10t)\displaystyle \frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}t}=\cos x\cdot10=10\cos(10t)\\{}\\ \therefore f^\prime(t)=10\cos(10t)

要点:看到复合函数时,需要分清内部函数与外部函数

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