反函数求导

反函数#

用隐函数微分法可以求导任意反函数，只要知道原函数的导数。
反函数定义：

$g=f^{-1},f=g^{-1}$

反函数求导#

例：

$y=\tan^{-1}x$

$\tan^{-1}x=\arctan x$

两边同时取正切：

$\displaystyle \tan y=x\\{}\\ \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}y}\tan y=\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}y}\frac{\sin y}{\cos y}=\frac{1}{\cos^2y}=\sec^2y\\{}\\ \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}(\tan y=x)\\{}\\ \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}y}\tan y\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}=1\Rightarrow\frac{1}{\cos^2y}y^\prime=1\\{}\\ \therefore y^\prime=\cos^2y$

我们需要把$y^\prime$ 的结果写成关于$x$ 的表达式：

$\displaystyle \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\tan^{-1}x=\cos^2(\tan^{-1}x)$

这个结果形式看起来有点复杂，但结果是没问题的，实际上可以让它换一种形式：

我们把$y$ 与$x$ 的关系通过直角三角形的图展现出来，再从这个直角三角形中找到$\cos y$ 的表达式。最后我们可以把答案换一种写法：

$\displaystyle \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\tan^{-1}x=\frac{1}{1+x^2}$