x^n 的导数

x^2的导数

了解了导数的性质之后，我们来了解一下x^2的求导，设f(x)=x^2，求f^\prime(x)。
求f^\prime(x)相当于\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}f(x)。

\displaystyle \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}f(x)=\frac{\mathrm{d}f(x)}{\mathrm{d}x}

我们运用「差商公式」来推导数：

\displaystyle \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}f(x)=\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}x^2=\lim\limits_{\Delta x\to0}\frac{(x+\Delta x)^2-x^2}{\Delta x}\\{}\\ =\lim\limits_{\Delta x\to0}\frac{(x^2+2x\Delta x+(\Delta x)^2)-x^2}{\Delta x}\\{}\\ =\lim\limits_{\Delta x\to0}\frac{2x\Delta x+(\Delta x)^2}{\Delta x}\\{}\\ =\lim\limits_{\Delta x\to0}2x+\Delta x\\{}\\ =2x

以上的差商公式运用了(a+b)^2=a^2+2ab+b^2。
那么x^3的导数呢？

\displaystyle (a+b)^3=(a+b)^2(a+b)\\{}\\ =a^3+2a^2b+ab^2+a^2b+2ab^2+b^3\\{}\\ =a^3+3a^2b+3ab^2+b^3

x^3的导数

我们再次运用万能求导公式「差商公式」来求x^3的导数：

\displaystyle \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}x^3=\lim\limits_{\Delta x\to0}\frac{(x+\Delta x)^3-x^3}{\Delta x}\\{}\\ =\lim\limits_{\Delta x\to0}\frac{x^3+3x^2\Delta x+3x(\Delta x)^2+(\Delta x)^3-x^3}{\Delta x}\\{}\\ =\lim\limits_{\Delta x\to0}\frac{3x^2\Delta x+3x(\Delta x)^2+(\Delta x)^3}{\Delta x}\\{}\\ =\lim\limits_{\Delta x\to0}3x^2+3x\Delta x+(\Delta x)^2\\{}\\ =3x^2

x^4的导数

我们已经知道了：

\displaystyle \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}x^2=2x\\{}\\ \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}x^3=3x^2

x^4的导数实际上是4x^3，你可以试着用差商公式推一遍。

\displaystyle \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}x^4=4x^3

x^n的导数

这是一个基本的导数公式，也是在学习求导法则之前的预备知识。

\displaystyle \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}x^n=nx^{n-1}

目前为止，n\in\N^+，下面的章节中我们将会知道n实际上可以是实数虚数，但是x=0,n\not=0。