泰勒级数与麦克劳林级数

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泰勒级数

在数学中,泰勒级数(用无限项连加式——「级数」)来表示一个函数,这些相加的项由函数在某一点的导数求得。

定义

如果f(x)在点x=x_0具有任意阶导数,则幂级数

\displaystyle \sum_{n=0}^\infty\frac{f^{(n)}(x-x_0)^n}{n!}=f(x_0)+f^\prime(x_0)(x-x_0)+\frac{f^{\prime\prime}(x_0)}{2!}(x-x_0)^2+...+\frac{f^{(n\to\infty)}(x_0)}{(n\to\infty)!}(x-x_0)^{n\to\infty}

称为f(x)x_0点处的泰勒级数。
在泰勒公式中,取x_0=0,得到的级数

\displaystyle \sum_{n=0}^\infty\frac{f^{(n)}(0)}{n!}x^n

称为「麦克劳林级数」。函数f(x)的麦克劳林级数是x的幂级数,那么这种展开是唯一的,且必然与f(x)的麦克劳林级数一致。

注意:如果f(x)的麦克劳林级数在点的某一领域内收敛,它不一定收敛于f(x)。因此,如果f(x)在某处有各阶导数,则f(x)的麦克劳林级数虽然能算出来,但这个级数能否在某一个区域内收敛,以及是否收敛于f(x)还需要进一步验证。

一些函数无法被展开为泰勒级数,因为那里存在一些「奇点」。但如果变量x是负指数幂的话,仍然可以将其展开为一个级数。例如\displaystyle f(x)=e^{-\frac{1}{x^2}},就可以被展开为一个「洛朗级数」。

知识拓展:序列的「\mathrm{Z}变换」是复变量\mathrm{Z}^{-1}的幂级数,也称为「洛朗级数」。(洛朗级数一般指\mathrm{Z}变换)

定理

定理一

设函数f(x)x_0的某个领域N(x_0,\delta_0)内具有任意阶导数,则函数f(x)在该领域内能展开成泰勒级数的充要条件使得泰勒公式中的余项R_n(x)满足:

\displaystyle \lim_{n\to\infty}R_n(x)=0,x\in N(x_0,\delta_0)

定理二

如果f(x)在区间(-R+x_0,R+x_0)能展开成泰勒级数:

\displaystyle \sum_{n=0}^\infty\frac{f^{(n)}(x_0)}{n!}(x-x_0)^n

则右端的幂级数是唯一的。

应用

泰勒级数的重要性体现在以下三个方面:

  • 幂级数的求导和积分可以逐项进行,因此求和函数相对比较容易。
  • 一个解析函数可被延伸为一个定义在复平面上的一个开区域上的泰勒级数通过解析延拓得到的函数,并使得复分析这种手法可行。
  • 泰勒级数可以用来近似计算函数的值。

对于一些无穷可微函数f(x)虽然它们的展开式收敛,但是并不等于f(x)。例如,分段函数f(x)=e^{-\frac{1}{x^2}},当x\not=0f(0)=0,则当x=0所有的导数都为0,所以这个f(x)的泰勒级数为0,且其收敛半径为无穷大,虽然这个函数f仅在x=0处为0。而这个问题在「复变函数」内并不成立,因为当z沿虚轴趋于0e^{-\frac{1}{x^2}}并不趋于0。考虑下「洛朗级数」吧。
基本原理:的k重不可约因式是其微商的k-1重不可约因式;
基本思想:通过系数为微商的多项式来研究任意函数的性质(本科主要是收敛性)

常见的麦克劳林级数

下面给出几个常见的函数在x=0处的泰勒级数,即麦克劳林级数。

指数函数

\displaystyle e^x=\sum_{n=0}^\infty\frac{x^n}{n!}

自然对数

\displaystyle \ln(x+1)=\sum_{n=\color{red}1}^\infty\frac{(-1)^{n+1}}{n}x^n\\{}\\ \forall x\in(-1,1]

几何级数

\displaystyle \frac{1}{1-x}=\sum_{n=0}^\infty x^n\\{}\\ |x|<1

正弦函数

\displaystyle \sin x=\sum_{n=0}^\infty\frac{(-1)^n}{(2n+1)!}x^{2n+1}\\{}\\ \forall x

余弦函数

\displaystyle \cos x=\sum_{n=0}^\infty\frac{(-1)^n}{(2n)!}x^{2n}\\{}\\ \forall x

正切函数

\displaystyle \tan x=\sum_{n=0}^\infty\frac{B_{2n}(-4)^n(1-4^n)}{(2n)!}x^{2n-1}\\{}\\ \forall x:|x|<\frac{\pi}{2}

B_{2n}是「伯努利数」

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