泰勒公式、麦克劳林公式、欧拉公式

泰勒公式

\displaystyle \sin x=x-\frac{x^3}{3!}+\frac{x^5}{5!}-\frac{x^7}{7!}+o(x^7)\\{}\\ \cos x=1-\frac{x^2}{2!}+\frac{x^4}{4!}-\frac{x^6}{6!}+o(x^6)\\{}\\ e^x=1+x+\frac{x^2}{2!}+\frac{x^3}{3!}+\frac{x^4}{4!}+\frac{x^5}{5!}+o(x^5)\\{}\\ e=e^1=1+1+\frac{1}{2!}+\frac{1}{3!}+\frac{1}{4!}+\frac{1}{5!}+o(x^5)\\{}\\ \frac{1}{1-x}=1+x+x^2+x^3+o(x^3)\\{}\\ (1+x)^a=1+\frac{a}{1!}x+\frac{a(a-1)}{2!}x^2+\frac{a(a-1)(a-2)}{3!}x^3+o(x^3)\\{}\\ \ln(1+x)=x-\frac{1}{2}x^2+\frac{1}{3}x^3+o(x^3)\\{}\\ \arcsin x=x+\frac{1}{2}\cdot\frac{x^3}{3}+\frac{1\cdot3}{2\cdot4}\cdot\frac{x^5}{5}+\frac{1\cdot3\cdot5}{2\cdot4\cdot6}\cdot\frac{x^7}{7}+o(x^7)

最后的o(x^n)是「佩亚诺(Peano)余项」。

0!1。从正整数的阶乘能看出来(n+1)!\div n!=n+1,所以n!=(n+1)!\div(n+1),那么把这个式子扩展到0上,就得到0!=1!\div1=1\div1=1

泰勒公式是将一个在x=x_0处具有n阶导数的函数f(x)利用关于(x-x_0)n次多项式来逼近函数的方法。

若函数f(x)在包含x_0的某个闭区间[a,b]上具有n阶导数,且在开区间(a,b)上具有(n+1)阶导数,则对闭区间[a,b]上任意一点x,成立下式:

\displaystyle f(x)=\frac{f(x_0)}{0!}+\frac{f^\prime(x_0)}{1!}(x-x_0)+\frac{f^{\prime\prime}(x_0)}{2!}(x-x_0)^2+\\{}\\...+\frac{f^{(n)}(x_0)}{n!}(x-x_0)^n+R_n(x)

其中,f^{(n)}(x_0)表示f(x)n阶导数,等号后的多项式称为函数f(x)x_0处的「泰勒展开式」,剩余的R_n(x)是泰勒公式的余项,是(x-x_0)^n的高阶无穷小。

余项

泰勒公式的余项R_n(x)可以写成以下几种不同的形式:

  • 佩诺亚(Peano)余项

    R_n(x)=o[(x-x_0)^n]

这里只需要n阶导数存在。

  • 施勒米尔希-罗什(Schlomilch-Roche)余项

    \displaystyle R_n(x)=f^{(n+1)}[x_0+\theta(x-x_0)]\frac{(1-\theta)^{n+1-p}(x-x_0)^{n+1}}{n!p}

其中\theta\in(0,1),p\in\forall\Z^+。(注意到p=n+1p=1分别对应拉格朗日余项与柯西余项)

  • 拉格朗日余项(Lagrange)余项

    \displaystyle R_n(x)=f^{(n+1)}[x_0+\theta(x-x_0)]\frac{(x-x_0)^{n+1}}{(n+1)!}

其中\theta\in(0,1)

  • 柯西(Cauchy)余项

    \displaystyle R_n(x)=f^{(n+1)}[x_0+\theta(x-x_0)]\frac{(1-\theta)^n(x-x_0)^{n+1}}{n!}

其中\theta\in(0,1)

  • 积分余项

    \displaystyle R_n(x)=\frac{(-1)^n}{n!}\int_a^x(t-x)^nf^{(n+1)}(t)\mathrm{d}t

    其中以上诸多余项事实上很多是等价的。

公式推导

拉格朗日中值定理到处的有限增量定理有:

\displaystyle \lim_{\Delta x\to0}(f(x_0+\Delta x)-f(x_0))=f^\prime(x_0)\Delta x\\{}\\ \Rightarrow f(x)=f(x_0)+f(x_0)+f^\prime(x_0)(x-x_0)+\alpha

其中误差\alpha是在\Delta x\to0x\to x_0的前提下趋向于0,所以在近似计算中往往不够精确。于是我们需要一个能够足够精确的切能估计出误差的多项式:

\displaystyle P(x)=A_0+A_1(x-x_0)+A_2(x-x_0)^2+...+A_n(x-x_0)^n

来近似的表示函数f(x)且要写出f(x)-P(x)的具体表达式。设函数P(x)满足:

P(x_0)=f(x_0)\\{}\\ P^\prime(x_0)=f^\prime(x_0)\\{}\\ P^{\prime\prime}(x_0)=f^{\prime\prime}(x_0)\\{}\\ ...\\{}\\ P^{(n)}(x_0)=f^{(n)}(x_0)

于是可以求出:

P(x_0)=A_0\\{}\\ P^\prime(x_0)=A_1\\{}\\ P^{\prime\prime}(x_0)=2!A_2\\{}\\ ...\\{}\\ P^{(n)}(x_0)=n!A_n

现在多项的各项系数都已求出,得到:

\displaystyle P(x)=f(x_0)+f^\prime(x_0)(x-x_0)+\frac{f^{(2)}(x_0)}{2!}(x-x_0)^2+\\{}\\ ...+\frac{f^{(n)}(x_0)}{n!}(x-x_0)^n

以上就是函数的泰勒展开式。
接下来求误差的具体表达式:

\displaystyle R_n(x_0)=f(x_0)-P(x_0)=0\\{}\\ \Rightarrow R_n(x_0)=R_n^\prime(x_0)=R_n^{\prime\prime}(x_0)=\\{}\\ ...=R_n^{(n)}(x_0)=0

根据柯西中值定理:

\displaystyle \frac{R_n(x)}{(x-x_0)^{n+1}}=\frac{R_n(x)-R_n(x_0)}{(x-x_0)^{n+1}-0}\\{}\\ =\frac{R_n^\prime(\theta_1)}{n+1}(\theta_1-x_0)^{-n}

其中\theta_1xx_0之间;继续使用柯西中值定理得到:

\displaystyle \frac{R_n^\prime(\theta_1)-R_n^\prime(x_0)}{(n+1)(\theta_1-x_0)^n-0}=\frac{R_n^{\prime\prime}(\theta_2)}{n(n+1)}(\theta_2-x_0)^{1-n}

其中\theta_2\theta_1x_0之间;连续使用n+1次后得到:

\displaystyle \frac{R_n(x)}{(x-x_0)^{n+1}}=\frac{R_n^{(n+1)}(\theta)}{(n+1)!}

其中\thetaxx_0之间;同时:

R_n^{(n+1)}(x)=f^{(n+1)}(x)-P^{(n+1)}(x)\\{}\\ R_n^{(n+1)}(\theta)=f^{(n+1)}(\theta)-P^{(n+1)}(\theta)

而:

\displaystyle P^{(n+1)}(\theta)\approx(n+1)!A_{n+1}=P^{(n+1)}(x_0)=0\\{}\\ \Rightarrow R_n^{(n+1)}(\theta)=f^{(n+1)}(\theta)\\{}\\ \therefore R_n(x)=\frac{f^{(n+1)}(\theta)}{(n+1)!}(x-x_0)^{n+1}

一般来说展开函数时都是为了计算的需要,x往往需要取一个定值,此时也可以把R_n(x)写成R_n

麦克劳林公式

函数的「麦克劳林展开」指的是「泰勒公式中」x_00的情况,即是泰勒公式的特殊形式,若f(x)x=0n阶连续可导,则:

\displaystyle f(x)=f(0)+\frac{f^\prime(0)}{1!}x+\frac{f^{\prime\prime}(0)}{2!}x^2+\frac{f^{\prime\prime\prime}(0)}{3!}x^3+\\{}\\ ...+\frac{f^{(n)}(0)}{n!}x^n+R_n(x)

R_n(x)=\frac{f^{(n+1)}(\delta)}{(n+1)!}x^{n+1},其中\delta0x之间时,公式称为拉格朗日型余项的n阶麦克劳林公式。
R_n(x)=o(x^n),且n阶导数存在时,公式称为带佩亚诺型的n阶麦克劳林公式。

公式应用

实际应用中,泰勒公式需要截断,只取有限项,一个函数的有限项的叫做泰勒展开式。泰勒公式的余项可以用于估算这种近似的误差。
泰勒展开式的重要性体现在以下五个方面

  1. 幂级数的求导和积分可以逐项进行,因此求和函数相对比较容易。
  2. 一个可被延伸为一个定义在复平面上的一个开片上的解析函数,并使得复分析这种手法可行。
  3. 泰勒级数可以用来近似计算函数的值,并估计误差。
  4. 证明不等式。
  5. 求待定式的极限。

来点例子

x=0处展开三角函数y=\sin x

\displaystyle f^{(n)}(x)=\sin\left(x+\frac{n\pi}{2}\right)

显然y=\sin xx=0处具有任意阶导数。
根据麦克劳林公式:

\displaystyle \sin x=x-\frac{x^3}{3!}+\frac{x^5}{5!}-\frac{x^7}{7!}+\\{}\\ ...+(-1)^{m-1}\frac{x^{2m-1}}{(2m-1)!}+o(x^{2m-1})

类似地,可以展开y=\cos x
来个计算近似值,并估计误差的例子,对指数函数运用展开式并舍弃余项:

\displaystyle e^x\approx1+x+\frac{x^2}{2!}+\frac{x^3}{3!}+\frac{x^4}{4!}+...+\frac{x^n}{n!}

x=1时:

\displaystyle e^x\approx1+1+\frac{1}{2!}+\frac{1}{3!}+\frac{1}{4!}+...+\frac{1}{n!}

n=10,即可算出近似值e\approx2.7182818
误差为:

\displaystyle \delta=|R_{10}|=\frac{1}{11!}+\frac{1}{12!}+\frac{1}{13!}+...\\{}\\ =\frac{1}{11!}\left(1+\frac{1}{12}+\frac{1}{12\times13}+...\right)\\{}\\ \frac{1}{11!}\left(1+\frac{1}{12}+\frac{1}{12^2}+...\right)\\{}\\ =\frac{12}{11\times11!}=2.73\times10^{-8}

欧拉公式

\displaystyle e^{\mathrm{i}x}=\cos x+\mathrm{i}\sin x\\{}\\ e^{-\mathrm{i}x}=\cos x-\mathrm{i}\sin x\\{}\\ e^{\mathrm{i}\pi}=-1\\{}\\ e^{\mathrm{i}\tau}=1

欧拉公式证明

e^x的泰勒展开扩展导复数系内以定义指数函数:

\displaystyle e^x=1+x+\frac{x^2}{2!}+\frac{x^3}{3!}+...+\frac{x^n}{n!}+...\\{}\\ \Rightarrow e^z=1+x+\frac{z^2}{2!}+\frac{z^3}{3!}+...+\frac{z^n}{n!}+...,z=a+\mathrm{i}b\\{}\\ \Rightarrow\bigg|_{a=0}e^{\mathrm{i}b}=1+\mathrm{i}b-\frac{b^2}{2!}-\mathrm{i}\frac{b^3}{3!}+\mathrm{i}\frac{b^4}{4!}+\mathrm{i}\frac{b^5}{5!}+...\\{}\\ =\left(1-\frac{b^2}{2!}+\frac{b^4}{4!}+...\right)+\mathrm{i}\left(b-\frac{b^3}{3!}+\frac{b^5}{5!}+...\right)\\{}\\ =\cos b+\mathrm{i}\sin b\\{}\\ \therefore e^{\mathrm{i}x}=\cos x+\mathrm{i}\sin x

\forall z=a+\mathrm{i}b

\displaystyle e^{a+\mathrm{i}b}=e^a\cdot e^{\mathrm{i}b}=e^a(\cos b+\mathrm{i}\sin b)

即复数z的指数函数依然睡个复数,这个复数的模\mathrm{r}=e^a,幅角\theta=b
b=0,则e^z=e^a(\cos0+\mathrm{i}\sin0)=e^a(1+0)=e^a,与实变函数f(x)=e^xx=a时的函数值相同。

本文章首发在 LearnKu.com 网站上。

上一篇 下一篇
讨论数量: 0
发起讨论 只看当前版本


暂无话题~