1/x 的导数

最基本求导函数除了x^n还有\frac{1}{x}。

1/x的求导

由于\frac{1}{x}=x^{-1}，所以对\frac{1}{x}的求导可以看成对x^{-1}的求导，不过我们先直接用\frac{1}{x}带入差商公式暴力推导下吧：

\displaystyle f(x)=\frac{1}{x}\\{}\\ f^\prime(x)=\lim\limits_{\Delta x\to0}\frac{\frac{1}{x+\Delta x}-\frac{1}{x}}{\Delta x}\\{}\\ =\lim\limits_{\Delta x\to0}\frac{x-x-\Delta x}{x^2+x\Delta x}\bigg/\Delta x\\{}\\ =\lim\limits_{\Delta x\to0}-\frac{\Delta x}{x^2+x\Delta x}\bigg/\Delta x\\{}\\ =\lim\limits_{\Delta x\to0}-\frac{1}{x^2+x\Delta x}\\{}\\ =-\frac{1}{x^2}

现在，我们把\frac{1}{x}当成x^{-1}来求导：

f(x)=\frac{1}{x}=x^{-1}\\{}\\ f^\prime(x)=\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}x^{-1}\\{}\\ =-1\cdot x^{-1-1}\\{}\\ =-x^{-2}\\{}\\ =-\frac{1}{x^2}

有了以上的差商方式求导，可以看出前面章节所说的x^n的求导公式\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}x^n=nx^{n-1}中n的取值范围不仅仅是正整数，也可以取负正数值。那么0呢？可以这样考虑，除0以外的任何数的0次方都是1，1是一个常数，所以我们根本不用考虑，因为常数项的导数是0，根本就用不到x^n的求导公式，它就已经被消掉了。