高阶导数

高阶导数

上节我们明白了x^n的导数，不过讨论的都是「一阶导数」，简称「一阶导」，我们可以说x^n的一阶导是nx^{n-1}。
现在我们看下高阶导，也就是f(x)的导数的导数，f(x)的二阶导表示为f^{\prime\prime}(x)；三阶导表示为f^{\prime\prime\prime}(x)；四阶导表示为f^{(4)}(x)；n阶导表示为f^{(n)}(x)。

\displaystyle f^{\prime\prime}(x)=(f^\prime(x))^{\prime}=\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}f^\prime(x)\\{}\\ f^{\prime\prime\prime}(x)=\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}f^{\prime\prime}(x)

x^5的二阶导

我们知道x^5的一阶导是5x^4，那么x^5的二阶导呢？求它的一阶导的导数就行了：

\displaystyle f(x)=x^5\\{}\\ f^{\prime\prime}(x)=\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}5x^4\\{}\\ =20x^3

x^5的三阶导

我们引入求导算符D，\displaystyle D=\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}，D^2=\displaystyle\frac{\mathrm{d}^2}{\mathrm{d}x^2}，D^n=\displaystyle\frac{\mathrm{d}^n}{\mathrm{d}x^n}。

有时候我们看到\displaystyle\frac{\mathrm{d}^2}{\mathrm{d}x^2}，可别以为是导数的“2次方”，这是一个求函数二阶导的算符，\displaystyle\frac{\mathrm{d}^2}{\mathrm{d}x^2}f(x)相当于求f(x)的二阶导，\frac{\displaystyle\mathrm{d}^2}{\displaystyle\mathrm{d}x^2}f(x)=f^{\prime\prime}(x)，\displaystyle\frac{\mathrm{d}^n}{\mathrm{d}x^n}f(x)=f^{(n)}(x)，也许你还会看到\displaystyle\frac{\mathrm{d}^nf}{\mathrm{d}x^n}，其实它等效于\displaystyle\frac{\mathrm{d}^n}{\mathrm{d}x^n}f(x)。

为了更好的探讨高阶导，我们用更直观的求导算符D：

\displaystyle D^3f(x)=f^{\prime\prime\prime}(x)\\{}\\ f(x)=x^5\\{}\\ D^3x^5=\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}20x^3=60x^2

x^5的四阶导

\displaystyle D^4x^5=\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}60x^2=120x

x^5的五阶导

\displaystyle D^5x^5=\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}120x=120x^0=120

x^5的六阶导

\displaystyle D^6x^5=\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}120=0

常数项的导数为0。

x^n的高阶导归纳

通过数学归纳法我们明白：

\displaystyle Dx^n=nx^{n-1}\\{}\\ D^2x^n=n(n-1)x^{n-2}\\{}\\ D^3x^n=n(n-1)(n-2)n^{n-3}\\{}\\ D^{n-1}x^n=[n(n-1)(n-2)...\cdot2]x\\{}\\ D^nx^n=n(n-1)(n-2)...\cdot2\cdot1\\{}\\ D^{n+1}x^n=0

归纳出三个简单公式：

\displaystyle D^{n-1}x^n=n!x\\{}\\ D^nx^n=n!\\{}\\ D^{n+1}x^n=0\\{}\\ n\in\N^+