隐函数微分

隐函数微分#

隐函数微分是一种技巧，可以借助它微分很多未知函数。从$f$ 到$f^\prime$ 是微分运算，从$f^\prime$ 到$f$ 是积分运算。

$\displaystyle \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}x^a=ax^{a-1}\\{}\\ a=\frac{m}{n},\{m,n\in\Z\}\\{}\\ y=x^{\frac{m}{n}}\Longrightarrow y^n=x^m$

函数的显式是：$y(x)=…$，我们这里用了隐式，等号左右都不是单一的函数名称。
现在把两边分别当成不同的函数处理，等式两边同时微分（不过微分时还是统一对原自变量$x$ 微分）：

$\displaystyle y^n=x^m\Longrightarrow (y^n)^\prime=(x^m)^\prime\\{}\\ \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}y^n=\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}x^m\Longrightarrow \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}y}y^n\cdot \frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}=mx^{m-1}\\{}\\ \Rightarrow ny^{n-1}\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}=mx^{m-1}\\{}\\ \Rightarrow \frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}=\frac{mx^{m-1}}{ny^{n-1}}=\frac{m}{n}\frac{x^{m-1}}{y^{n-1}}=\frac{m}{n}\frac{x^{m-1}}{\left(x^{\frac{m}{n}}\right)^{n-1}}\\{}\\ =\frac{m}{n}x^{m-1-(n-1)\frac{m}{n}}=\frac{m}{n}x^{-1+\frac{m}{n}}\\{}\\ =\frac{m}{n}x^{\frac{m}{n}-1}$

上述步骤有用到「链式法则」技巧，最后全部换算成关于$x$ 的函数表达式，最终我们通过「隐函数微分」证明了$x^n$ 中的$n$ 可以为有理数。